7723. Основание наклонной призмы — параллелограмм со сторонами 3 и 6 и острым углом 45^{\circ}
. Боковое ребро призмы равно 4 и наклонено к плоскости основания под углом 30^{\circ}
. Найдите объём призмы.
Ответ. 18\sqrt{2}
.
Решение. Пусть K
— ортогональная проекция вершины A
наклонной призмы ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
на плоскость основания ABCD
, AB=3
, AD=6
, \angle BAD=45^{\circ}
, AA_{1}=BB_{1}=CC_{1}=DD_{1}=4
. По условию задачи \angle AA_{1}K=30^{\circ}
Из прямоугольного треугольника AKA_{1}
находим, что AK=\frac{1}{2}AA_{1}=2
, а так как AK
— высота призмы ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, то
V_{ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=S_{ABCD}\cdot AK=AB\cdot AD\sin45^{\circ}\cdot AK=
=3\cdot6\cdot\frac{1}{2}\sqrt{2}\cdot2=18\sqrt{2}.