7725. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб. Плоскость, проведённая через одну из сторон нижнего основания и противоположную сторону верхнего основания, образует с плоскостью основания угол 45^{\circ}
. Полученное сечение имеет площадь Q
. Найдите боковую поверхность параллелепипеда.
Ответ. 2Q\sqrt{2}
.
Решение. Пусть ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
— прямой параллелепипед с основанием ABCD
и боковыми рёбрами AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
и DD_{1}
, причём ABCD
— ромб, сечение ADC_{1}B_{1}
образует с плоскостью основания ABCD
угол 45^{\circ}
и S_{ADC_{1}B_{1}}=Q
.
Опустим перпендикуляр AM
из вершины A
на прямую B_{1}C_{1}
. Поскольку параллелепипед прямой, AA_{1}
— перпендикуляр к плоскости основания A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, поэтому A_{1}M
— ортогональная проекция наклонной AM
на плоскость основания A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. По теореме о трёх перпендикулярах A_{1}M\perp B_{1}C_{1}
, поэтому AMA_{1}
— линейный угол двугранного угла образованного плоскостями сечения и основания A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. По условию задачи \angle AMA_{1}=45^{\circ}
.
Обозначим AD=a
, AA_{1}=h
. Из прямоугольного треугольника AMA_{1}
находим, что AM=\frac{AA_{1}}{\sin45^{\circ}}=h\sqrt{2}
. Значит,
Q=S_{ADC_{1}B_{1}}=B_{1}C_{1}\cdot AM=ah\sqrt{2},
откуда ah=\frac{Q}{\sqrt{2}}
.
Пусть S
— искомая площадь боковой поверхности параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Тогда
S=4S_{ADD_{1}A_{1}}=4AD\cdot AA_{1}=4ah=\frac{4Q}{\sqrt{2}}=2Q\sqrt{2}.
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — 11.026