7728. В треугольной пирамиде боковые рёбра попарно перпендикулярны и равны \sqrt{70}
, \sqrt{99}
и \sqrt{126}
. Найдите объём и площадь основания пирамиды.
Ответ. 21\sqrt{55}
; 84.
Решение. Пусть ABCD
— данная треугольная пирамида ABCD
, DA=\sqrt{70}
, DB=\sqrt{99}
, DC=\sqrt{126}
, причём рёбра DA
, DB
и DC
попарно перпендикулярны. Будем считать, что A
— вершина пирамиды ABCD
. Тогда её ребро AD
перпендикулярно двум пересекающимся прямым DB
и DC
плоскости грани DBC
. Значит, AD
— высота пирамиды, а её основание — прямоугольный треугольник DBC
с гипотенузой BC
. Следовательно,
V_{ABCD}=\frac{1}{3}S_{\triangle DBC}\cdot AD=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}DB\cdot DC\cdot AD=\frac{1}{6}\sqrt{70}\cdot\sqrt{99}\cdot\sqrt{126}=
=\sqrt{35\cdot11\cdot63}=21\sqrt{55}.
Из прямоугольных треугольников ABD
, ACD
и BCD
по теореме Пифагора находим, что AB=13
, AC=14
и BC=15
. Тогда по формуле Герона
S_{\triangle ABC}=\sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6}=84.
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 11.033