7729. Найдите объём правильного октаэдра (правильного восьмигранника), ребро которого равно a
.
Ответ. \frac{a^{3}\sqrt{2}}{3}
.
Решение. Рассмотрим правильный октаэдр как объединение двух правильных четырёхугольных пирамид PABCD
и QABCD
с общим основанием ABCD
, причём вершины P
и Q
расположены по разные стороны от плоскости квадрата ABCD
, а все рёбра этих пирамид равны a
.
Пусть O
— центр квадрата ABCD
. Тогда PO
— высота пирамиды PABCD
. Из прямоугольного треугольника AOP
по теореме Пифагора находим, что
PO=\sqrt{PA^{2}-OA^{2}}=\sqrt{a^{2}-\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.
Пусть V
— объём октаэдра. Тогда
V=2V_{PABCD}=2\cdot\frac{1}{3}a^{2}\cdot\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{a^{3}\sqrt{2}}{3}.
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 11.036