7731. Основанием параллелепипеда служит квадрат. Одна из вершин верхнего основания равноудалена от всех вершин нижнего основания и находится на расстоянии
b
от этого основания. Сторона основания равна
a
. Найдите полную поверхность параллелепипеда.
Ответ.
2a(a+\sqrt{4b^{2}+a^{2}})
.
Решение. Пусть
ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
— данный параллелепипед с основаниями
ABCD
,
A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
и боковыми рёбрами
AA_{1}
,
BB_{1}
,
CC_{1}
и
DD_{1}
, причём
ABCD
— квадрат со стороной
a
, вершина
B_{1}
равноудалена от вершин
A
,
B
,
C
и
D
, а расстояние от вершины
B_{1}
до плоскости основания
ABCD
равно
b
.
Поскольку точка
B_{1}
равноудалена от вершин квадрата
ABCD
, она лежит на перпендикуляре к плоскости
ABCD
, проходящем через центр
O
квадрата. Перпендикуляр, опущенный из точки
O
на сторону
BC
, проходит через её середину
M
. По теореме о трёх перпендикулярах
B_{1}M\perp BC
, поэтому
B_{1}M
— высота грани
BB_{1}C_{1}C
. Из прямоугольного треугольника
B_{1}OM
находим, что
B_{1}M=\sqrt{BO^{2}+OM^{2}}=\sqrt{b^{2}+\frac{a^{2}}{4}}.

Значит,
S_{AA_{1}D_{1}D}=S_{BB_{1}C_{1}C}=BC\cdot B_{1}M=a\sqrt{b^{2}+\frac{a^{2}}{4}}.

Аналогично,
S_{AA_{1}B_{1}B}=S_{DD_{1}C_{1}C}=a\sqrt{b^{2}+\frac{a^{2}}{4}}.

Если
S
— полная поверхность параллелепипеда
ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, то
S=2a^{2}+4a\sqrt{b^{2}+\frac{a^{2}}{4}}=2a(a+\sqrt{4b^{2}+a^{2}}).

Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 11.038