7731. Основанием параллелепипеда служит квадрат. Одна из вершин верхнего основания равноудалена от всех вершин нижнего основания и находится на расстоянии b
от этого основания. Сторона основания равна a
. Найдите полную поверхность параллелепипеда.
Ответ. 2a(a+\sqrt{4b^{2}+a^{2}})
.
Решение. Пусть ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
— данный параллелепипед с основаниями ABCD
, A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
и боковыми рёбрами AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
и DD_{1}
, причём ABCD
— квадрат со стороной a
, вершина B_{1}
равноудалена от вершин A
, B
, C
и D
, а расстояние от вершины B_{1}
до плоскости основания ABCD
равно b
.
Поскольку точка B_{1}
равноудалена от вершин квадрата ABCD
, она лежит на перпендикуляре к плоскости ABCD
, проходящем через центр O
квадрата. Перпендикуляр, опущенный из точки O
на сторону BC
, проходит через её середину M
. По теореме о трёх перпендикулярах B_{1}M\perp BC
, поэтому B_{1}M
— высота грани BB_{1}C_{1}C
. Из прямоугольного треугольника B_{1}OM
находим, что
B_{1}M=\sqrt{BO^{2}+OM^{2}}=\sqrt{b^{2}+\frac{a^{2}}{4}}.
Значит,
S_{AA_{1}D_{1}D}=S_{BB_{1}C_{1}C}=BC\cdot B_{1}M=a\sqrt{b^{2}+\frac{a^{2}}{4}}.
Аналогично,
S_{AA_{1}B_{1}B}=S_{DD_{1}C_{1}C}=a\sqrt{b^{2}+\frac{a^{2}}{4}}.
Если S
— полная поверхность параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, то
S=2a^{2}+4a\sqrt{b^{2}+\frac{a^{2}}{4}}=2a(a+\sqrt{4b^{2}+a^{2}}).
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 11.038