7732. Основание пирамиды — треугольник со сторонами 6, 5 и 5. Боковые грани пирамиды образуют с плоскостью её основания углы 45^{\circ}
. Найдите объём пирамиды.
Ответ. 6; 24; 16; 16.
Указание. Если боковые грани треугольной пирамиды образуют равные углы с плоскостью основания, то высота пирамиды проходит через центр вписанной окружности треугольника основания или через центр одной из вневписанных окружностей.
Решение. Пусть ABCD
— данная треугольная пирамида с вершиной D
, AB=AC=5
, BC=6
, O
— основание высоты, опущенной из вершины D
. Опустим перпендикуляры OA_{1}
, OB_{1}
и OC_{1}
на прямые BC
, AC
и AB
соответственно. По теореме о трёх перпендикулярах DA_{1}\perp BC
, DB_{1}\perp AC
и DC_{1}\perp AB
, значит, DA_{1}O
, DB_{1}O
и DC_{1}O
— линейные углы двугранных углов, образованных боковыми гранями пирамиды с плоскостью её основания. По условию задачи
\angle DA_{1}O=\angle DB_{1}O=\angle DC_{1}O=45^{\circ}.
Поэтому прямоугольные треугольники DA_{1}O
, DB_{1}O
и DC_{1}O
равны по катету и острому углу. Значит, OA_{1}=OB_{1}=OC_{1}
, т. е. точка O
равноудалена от прямых BC
, AC
и AB
. Следовательно, точка O
— либо центр вписанной окружности треугольника ABC
(рис. 1), либо центр одной из вневписанных окружностей этого треугольника (рис. 2).
Пусть O
— центр вписанной окружности треугольника ABC
, r
— радиус окружности. Тогда r=\frac{S}{p}
, где S
— площадь треугольника, p
— его полупериметр. Так как AA_{1}
— высота треугольника ABC
, то
AA_{1}=\sqrt{AB^{2}-BA_{1}^{2}}=\sqrt{25-9}=4,~S=\frac{1}{2}BC\cdot AA_{1}=\frac{1}{2}\cdot6\cdot4=12,~r=\frac{S}{p}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}.
Из прямоугольного треугольника DA_{1}O
находим, что
DO=OA_{1}=r=\frac{3}{2}.
Следовательно,
V_{ABCD}=\frac{1}{3}S\cdot DO=\frac{1}{3}\cdot12\cdot\frac{3}{2}=6.
Если O_{a}
— центр окружности касающейся стороны BC
треугольника ABC
и продолжений сторон AB
и AC
, а r_{a}
— её радиус, то
r_{a}=\frac{S}{p-BC}=\frac{12}{8-6}=6,~DO_{a}=OA_{a}=r_{1}=6,~V_{ABCD}=\frac{1}{3}S\cdot DO_{a}=\frac{1}{3}\cdot12\cdot6=24.
Если O_{b}
— центр окружности касающейся стороны AC
треугольника ABC
и продолжений сторон AB
и BC
, а r_{b}
— её радиус, то
r_{b}=\frac{S}{p-AC}=\frac{12}{8-5}=4,~DO_{b}=OA_{a}=r_{b}=4,~V_{ABCD}=\frac{1}{3}S\cdot DO_{b}=\frac{1}{3}\cdot12\cdot4=16.
Если O_{c}
— центр окружности касающейся стороны AB
треугольника ABC
и продолжений сторон AC
и BC
, а r_{c}
— её радиус, то
r_{c}=r_{b}=4,~V_{ABCD}=16.
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 11.040