7735. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны a
и b
. Диагональ параллелепипеда наклонена к плоскости боковой грани, содержащей сторону основания, равную b
, под углом 30^{\circ}
. Найдите объём параллелепипеда.
Ответ. ab\sqrt{3a^{2}-b^{2}}
.
Решение. Пусть ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
— данный прямоугольный параллелепипед с основаниями ABCD
, A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
и боковыми рёбрами AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
и DD_{1}
, причём BC=a
, CD=b
. Поскольку BC
— перпендикуляр к плоскости грани CC_{1}D_{1}D
, содержащей ребро CD
, CD_{1}
— ортогональная проекция диагонали BD_{1}
на эту плоскость. Значит, BD_{1}C
— угол прямой BD_{1}
с плоскостью грани CC_{1}D_{1}D
. По условию задачи \angle BD_{1}C=30^{\circ}
.
Из прямоугольных треугольников BD_{1}C
, BDC
и BDD_{1}
находим, что
BD_{1}=2BC=2a,~BD^{2}=BC^{2}+CD^{2}=a^{2}+b^{2},
DD_{1}=\sqrt{BD^{2}-BD^{2}}=\sqrt{4a^{2}-a^{2}-b^{2}}=\sqrt{3a^{2}-b^{2}}.
Следовательно,
V_{ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=S_{ABCD}\cdot DD_{1}=ab\sqrt{3a^{2}-b^{2}}.