7736. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны a
и b
. Диагональ параллелепипеда наклонена к плоскости основания под углом 60^{\circ}
. Найдите боковую поверхность параллелепипеда.
Ответ. 2(a+b)\sqrt{3(a^{2}+b^{2})}
.
Решение. Пусть ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
— данный прямоугольный параллелепипед с основаниями ABCD
, A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
и боковыми рёбрами AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
и DD_{1}
, причём BC=a
, CD=b
. Поскольку BB_{1}
— перпендикуляр к плоскости основания A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, B_{1}D_{1}
— ортогональная проекция диагонали BD_{1}
на эту плоскость. Значит, BD_{1}B_{1}
— угол прямой BD_{1}
с плоскостью основания A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. По условию задачи \angle BD_{1}B_{1}=60^{\circ}
.
Из прямоугольных треугольников B_{1}C_{1}D_{1}
и BB_{1}D_{1}
находим, что
B_{1}D_{1}=\sqrt{BC^{2}+CD^{2}}=\sqrt{a^{2}+b^{2}},
BB_{1}=B_{1}D_{1}\tg\angle BD_{1}B_{1}=B_{1}D_{1}\tg60^{\circ}=\sqrt{3(a^{2}+b^{2})}.
Если S
— боковая поверхность параллелепипеда, то
S=2(AB+BC)\cdot BB_{1}=2(a+b)\sqrt{3(a^{2}+b^{2})}.