7737. Найдите объём наклонной треугольной призмы, основанием которой служит равносторонний треугольник со стороной a
, если боковое ребро призмы равно стороне основания и наклонено к плоскости основания под углом 60^{\circ}
.
Ответ. \frac{3a^{3}}{8}
.
Решение. Пусть K
— ортогональная проекция вершины A
наклонной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
на плоскость основания A_{1}B_{1}C_{1}
, AB=BC=AC=AA_{1}=BB_{1}=DD_{1}=a
. По условию задачи \angle AA_{1}K=60^{\circ}
Из прямоугольного треугольника AKA_{1}
находим, что
AK=AA_{1}\sin\angle AA_{1}K=a\sin60^{\circ}=\frac{a\sqrt{3}}{2},
а так как AK
— высота призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
, то
V_{ABCA_{1}B_{1}C_{1}}=S_{\triangle ABC}\cdot AK=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{3a^{3}}{8}.