7738. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, если его диагональ равна d
, а рёбра, исходящие из одной вершины относятся как m:n:p
.
Ответ. \frac{mnpd^{3}}{(m^{2}+n^{2}+p^{2})\sqrt{m^{2}+n^{2}+p^{2}}}
.
Решение. Пусть mx
, nx
и px
— длины указанных рёбер. По теореме о квадрате диагонали прямоугольного параллелепипеда
d^{2}=m^{2}x^{2}+n^{2}x^{2}+p^{2}x^{2}=x^{2}(m^{2}+n^{2}+p^{2}),
откуда
x=\frac{d}{\sqrt{m^{2}+n^{2}+p^{2}}}.
Так как объём V
прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений, то
V=mx\cdot nx\cdot px=mnp\cdot x^{3}=\frac{mnpd^{3}}{(m^{2}+n^{2}+p^{2})\sqrt{m^{2}+n^{2}+p^{2}}}.