7741. Два равных конуса имеют общую высоту. Плоскости их оснований параллельны. Докажите, что объём общей части конусов равен четверти объёма каждого из них.
Решение. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры оснований конусов, r
— радиус оснований. Тогда O_{1}O_{2}=h
— их общая высота. Рассмотрим сечение конусов плоскостью, проходящей через прямую O_{1}O_{2}
. Получим два равных равнобедренных треугольника с общей высотой O_{1}O_{2}
и параллельными основаниями. Поскольку O_{1}
и O_{2}
— середины оснований этих треугольников, боковые стороны треугольников делятся точками пересечения M
и N
пополам. Значит, MN
— общая средняя линия треугольников.
Пусть V
— объём каждого из данных конусов. Их пересечение представляет собой фигуру, состоящую из двух равных конусов с общим основанием и равными высотами. Радиус основания каждого конуса равен половине отрезка MN
, т. е. \frac{r}{2}
, а высота равна половине отрезка O_{1}O_{2}
, т. е. \frac{h}{2}
. Следовательно, искомый объём равен
2\cdot\frac{1}{3}\pi\cdot\left(\frac{r}{2}\right)^{2}\cdot\frac{h}{2}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{4}V.
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 11.079