7742. Докажите, что объём конуса равен третьей части произведения боковой поверхности на расстояние от центра основания до образующей.
Решение. Пусть r
— радиус основания конуса, h
— высота, l
— образующая, d
— расстояние от центра основания до образующей, S
— боковая поверхность, V
— объём. Осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник. Высота, проведённая к основанию, разбивает этот треугольник на два равных прямоугольных треугольника с катетами r
и h
, гипотенузой l
и высотой d
, опущенной на гипотенузу. Тогда r\cdot h=l\cdot d
, поэтому
V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi r\cdot rh=\frac{1}{3}\pi rld=\frac{1}{3}d\cdot\pi rl=\frac{1}{3}dS.