7744. Сфера радиуса 4 с центром в точке Q
касается трёх параллельных прямых в точках F
, G
и H
. Известно, что площадь треугольника QGH
равна 4\sqrt{2}
, а площадь треугольника FGH
больше 16. Найдите угол GFH
.
Ответ. \frac{3\pi}{8}
.
Указание. Докажите, что точки F
, G
и H
лежат в плоскости, проходящей через центр данной сферы перпендикулярно данным прямым. Проведите сечение сферы этой плоскостью и рассмотрите два случая взаимного расположения точек Q
и F
относительно прямой GH
.
Решение. Пусть прямая a
касается данной сферы в точке F
(рис. 1). Проведём через точку Q
плоскость \alpha
, перпендикулярную прямой a
. Если прямая a
пересекает эту плоскость в точке F_{1}
, то QF_{1}\perp a
, а так как прямая, касающаяся сферы, перпендикулярна радиусу сферы, проведённому в точку касания, то QF\perp a
. Из единственности перпендикуляра, проведённого к данной прямой через данную точку, следует, что точка F_{1}
совпадает с точкой F
.
Поскольку данные прямые параллельны, плоскость \alpha
перпендикулярна каждой из них. Значит, плоскость \alpha
проходит также через точки G
и H
.
Треугольник FGH
вписан в окружность пересечения сферы с плоскостью \alpha
. Пусть S_{\triangle FGH}=S
. По условию
4\sqrt{2}=S_{\triangle QGH}=\frac{1}{2}QG\cdot QH\sin\angle GQH=\frac{1}{2}\cdot4\cdot4\sin\angle GQH=8\sin\angle GQH,
откуда \sin\angle GQH=\frac{\sqrt{2}}{2}
. Значит, либо \angle GQH=45^{\circ}
, либо \angle GQH=135^{\circ}
.
Пусть \angle GQH=45^{\circ}
. Если точка F
лежит на большей из дуг GH
, (рис. 2) то площадь треугольника FGH
максимальна, если точка F
совпадает с точкой A
, лежащей на серединном перпендикуляре к хорде GH
, т. е. на диаметре AB
окружности, перпендикулярном хорде GH
. Если C
— середина этой хорды, то
S\leqslant\frac{1}{2}GH\cdot AC\lt\frac{1}{2}GH\cdot AB=\frac{1}{2}\sqrt{QG^{2}+QH^{2}-2QG\cdot QH\cos45^{\circ}}\cdot AB=
=\frac{1}{2}\sqrt{16+16-2\cdot16\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}\cdot8=16\sqrt{2-\sqrt{2}}\lt16\cdot1=16,
что противоречит условию. Если точка F
лежит на меньшей из дуг GH
(рис. 3), то
S_{\triangle FGH}\leqslant S_{\triangle BGH}\lt S_{\triangle AGH}\lt16,
что также противоречит условию.
Пусть \angle GQH=135^{\circ}
. Тогда площадь сектора с углом GQH
, равным 135^{\circ}
, составляет три восьмых от площади круга радиуса 4, т. е. равна 6\pi
. Если точка F
лежит на меньшей из дуг GH
(рис. 4), то площадь треугольника FGH
меньше площади сегмента, ограниченного этой дугой, т. е.
S\lt6\pi-S_{\triangle QGH}=6\pi-4\sqrt{2}\lt16
(6\pi-4\sqrt{2}\lt16~\Leftarrow~6\pi\lt4\sqrt{2}+16~\Leftarrow~3\pi\lt2\sqrt{2}+8~\Leftarrow~3\pi\lt10\lt2\sqrt{2}+8),
что противоречит условию.
Если точка F
лежит на большей из дуг GH
(рис. 5), то S
может быть больше 16. В самом деле, пусть F
совпадает с серединой A
большей из дуг GH
. Тогда
\angle AQG=\angle AQH=\frac{1}{2}(360^{\circ}-135^{\circ})=112{,}5^{\circ}\lt120^{\circ},
поэтому
S_{\triangle AGH}=S_{\triangle QGH}+2S_{\triangle AQH}=4\sqrt{2}+4\cdot4\cdot\sin112{,}5^{\circ}\gt
\gt4\sqrt{2}+4\cdot4\cdot\sin120^{\circ}=4\sqrt{2}+8\sqrt{3}\gt4+8\cdot1{,}5=4+12=16.
Таким образом, \angle GQH=135^{\circ}
, а точка F
лежит на большей из дуг GH
. Следовательно,
\angle GFH=\frac{1}{2}\angle GQH=\frac{1}{2}\cdot135^{\circ}=67{,}5^{\circ}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет МГУ. — 1995 (основной экзамен), вариант 2, № 5