7746. Теорема об отрезках параллельных прямых, заключённых между параллельными плоскостями. Докажите, что отрезки параллельных прямых, заключённые между двумя параллельными плоскостями, равны.
Решение. Пусть плоскости \alpha
и \beta
параллельны, прямая a
пересекает их соответственно в точках A
и B
, а параллельная ей прямая a_{1}
— в точках A_{1}
и B_{1}
. Рассмотрим плоскость \gamma
, проходящую через параллельные прямые a
и a_{1}
. Она пересекает параллельные плоскости \alpha
и \beta
по прямым AA_{1}
и BB_{1}
. Значит, AA_{1}\parallel BB_{1}
. Противоположные стороны четырёхугольника AA_{1}B_{1}B
попарно параллельны, поэтому AA_{1}B_{1}B
— параллелограмм. Следовательно, AB=A_{1}B_{1}
.