7747. На диагоналях AB_{1}
и BC_{1}
граней параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
взяты точки M
и N
, причём отрезки MN
и A_{1}C
параллельны. Найдите отношение этих отрезков.
Ответ. 1:3
.
Указание. Рассмотрите сечения данного параллелепипеда плоскостью, проходящей через вершины A
, D_{1}
, B_{1}
и плоскостью, проходящей через вершины B
, D
, C_{1}
.
Решение. Рассмотрим сечения данного параллелепипеда плоскостью, проходящей через вершины A
, D_{1}
, B_{1}
и плоскостью, проходящей через вершины B
, D
, C_{1}
. Поскольку пересекающиеся прямые AB_{1}
и AD_{1}
первой плоскости соответственно параллельны пересекающимся прямым DC_{1}
и BC_{1}
второй плоскости, эти плоскости параллельны. Концы отрезка MN
расположены в этих плоскостях. Известно, что диагональ A_{1}C
параллелепипеда делится этими плоскостями на три равных отрезка, а так как отрезки параллельных прямых, заключённые между параллельными плоскостями, равны, то MN=\frac{1}{3}A_{1}C
.
Предположим, что есть ещё один отрезок M_{1}N_{1}
, также удовлетворяющий условию задачи (M_{1}
лежит на AB_{1}
, а N_{1}
— на BC_{1}
). Тогда M_{1}N_{1}\parallel MN
, поэтому точки M
, N
, M_{1}
и N_{1}
лежат в одной плоскости. Значит, прямые AB_{1}
и BC_{1}
также лежат в одной плоскости, что невозможно, так как они скрещивающиеся.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет МГУ. — 1993 (предварительный экзамен), вариант 2, № 5