7748. В основании пирамиды SABC
лежит правильный треугольник ABC
со стороной 2\sqrt{3}
, и SA=SB=SC=\sqrt{7}
. В трёхгранный угол при вершине C
вписана сфера S_{1}
. Сфера S_{2}
, радиус которой втрое больше, чем у сферы S_{1}
, касается сферы S_{1}
, плоскостей SAC
и ABC
. При этом отрезок прямой SB
, заключённый внутри сферы S_{2}
, равен \frac{6}{\sqrt{7}}
. Найдите радиус сферы S_{2}
.
Ответ. \sqrt{3}
; \frac{19\sqrt{3}}{25}
.
Указание. Докажите, что точки касания сфер с плоскостью основания пирамиды лежат на одном перпендикуляре к прямой AC
.
Решение. Пусть SM
— высота данной правильной пирамиды SABC
(рис. 1), K
— середина ребра AC
. Тогда M
— центр равностороннего треугольника ABC
, BK
— высота этого треугольника,
BK=AC\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=3,
BM=\frac{2}{3}BK=2,~KM=\frac{1}{3}BK=1.
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника BMS
находим, что
SM=\sqrt{BS^{2}-BM^{2}}=\sqrt{7-4}=\sqrt{3}.
Обозначим через \beta
угол боковой грани пирамиды с плоскостью основания. Из прямоугольного треугольника KMS
находим, что
\tg\beta=\frac{SM}{KM}=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3},
поэтому \beta=60^{\circ}
.
Центр сферы, вписанной в двугранный угол, лежит в биссекторной плоскости этого угла. Пусть сферы S_{1}
и S_{2}
с центрами O_{1}
и O_{2}
касаются плоскости основания ABC
в точках P
и Q
соответственно, P_{1}
и Q_{1}
— ортогональные проекции точек P
и Q
на прямую AC
, а r
и 3r
— радиусы сфер (рис. 2). Тогда
PP_{1}=r\ctg\frac{\beta}{2}=r\ctg30^{\circ}=r\sqrt{3},
QQ_{1}=3r\ctg\frac{\beta}{2}=3r\ctg30^{\circ}=3r\sqrt{3},
PQ=2\sqrt{3r\cdot r}=2r\sqrt{3}.
Таким образом, PP_{1}+PQ=QQ_{1}
. Значит, точки P
и Q
лежат на перпендикуляре QQ_{1}
к прямой AC
, причём точка P
лежит между Q
и Q_{1}
.
Кроме того, поскольку грани ASC
и BSC
образуют равные углы с плоскостью основания, точка P
лежит на биссектрисе угла ACB
. Поэтому
CQ_{1}=PQ_{1}\ctg30^{\circ}=r\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3r.
Проведём сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки B
, S
и K
(рис. 3). Получим окружность с центром в некоторой точке D
, лежащей на биссектрисе угла BSK
треугольника BSK
, причём сторона BS
высекает на этой окружности хорду EF
, равную \frac{6}{\sqrt{7}}
. Если H
— ортогональная проекция точки D
на плоскость основания ABC
, то DH=O_{2}Q=3r
. Расстояние O_{2}D
от точки O_{2}
до плоскости сечения равно расстоянию от точки Q
до прямой BK
, а так как QQ_{1}\parallel BK
, то
O_{2}D=HQ=Q_{1}K=|CK-CQ_{1}|=|\sqrt{3}-3r|.
Из прямоугольного треугольника O_{2}DF
находим, что
DE=\sqrt{O_{2}E^{2}-O_{2}D^{2}}=\sqrt{9r^{2}-(\sqrt{3}-3r)^{2}}=\sqrt{6r\sqrt{3}-3}.
При этом r\geqslant\frac{1}{2\sqrt{3}}
. Пусть G
— середина хорды EF
. Тогда
DG=\sqrt{DE^{2}-EG^{2}}=\sqrt{DE^{2}-\frac{1}{4}EF^{2}}=
=\sqrt{6r\sqrt{3}-3-\frac{9}{7}}=\sqrt{6r\sqrt{3}-\frac{30}{7}}.
Кроме того,
HM=|HK-KM|=|QQ_{1}-MK|=|3r\sqrt{3}-1|=3r\sqrt{3}-1,
так как r\geqslant\frac{1}{2\sqrt{3}}\gt\frac{1}{3\sqrt{3}}
. Это означает, что точки D
и K
лежат по разные стороны от прямой SM
.
Если точка D
лежит внутри треугольника BSM
(рис. 4), то площадь треугольника BMS
равна сумме площадей треугольников BDM
, MDS
и BDS
. В этом случае
\frac{1}{2}BM\cdot DH+\frac{1}{2}MS\cdot HM+\frac{1}{2}BS\cdot DG=\frac{1}{2}BM\cdot SM,
или
2\cdot3r+\sqrt{3}(3r\sqrt{3}-1)+\sqrt{7}\sqrt{6r\sqrt{3}-\frac{30}{7}}=2\sqrt{3}.
После очевидных преобразований получим:
\sqrt{4r\sqrt{3}-30}=3\sqrt{3}-15r~\Rightarrow~75r^{2}-44r\sqrt{3}+19=0~\Rightarrow
\Rightarrow~r=\frac{\sqrt{3}}{3}~\mbox{или}~r=\frac{19\sqrt{3}}{75}.
Оба найденных корня не удовлетворяют условию 3\sqrt{3}-15r\geqslant0
.
Если точка D
лежит вне треугольника BSM
(рис. 5) (это может быть только в случае, когда точки D
и M
лежат по разные стороны от прямой BS
), то
\frac{1}{2}BM\cdot DH+\frac{1}{2}MS\cdot HM-\frac{1}{2}BS\cdot DG=\frac{1}{2}BM\cdot SM,
или
2\cdot3r+\sqrt{3}(3r\sqrt{3}-1)-\sqrt{7}\sqrt{6r\sqrt{3}-\frac{30}{7}}=2\sqrt{3}.
После очевидных преобразований получим:
\sqrt{4r\sqrt{3}-30}=15r-3\sqrt{3}~\Rightarrow~75r^{2}-44r\sqrt{3}+19=0~\Rightarrow
\Rightarrow~r=\frac{\sqrt{3}}{3}~\mbox{или}~r=\frac{19\sqrt{3}}{75}.
Оба корня удовлетворяют условию задачи. Следовательно, радиус сферы S_{2}
равен \sqrt{3}
или \frac{19\sqrt{3}}{25}
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет МГУ. — 1990, вариант 1, № 6