7750. На прямой l
в пространстве последовательно расположены точки A
, B
и C
, причём AB=18
и BC=14
. Найдите расстояние между прямыми l
и m
, если расстояния от точек A
, B
и C
до прямой m
равны 12, 15 и 20 соответственно.
Ответ. 12.
Указание. Рассмотрите ортогональную проекцию прямых l
и m
на плоскость, перпендикулярную прямой m
.
Решение. Пусть A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
— основания перпендикуляров, опущенных на прямую m
из точек A
, B
и C
соответственно (рис. 1). По условию задачи
AA_{1}=12,~BB_{1}=15,~CC_{1}=20.
Предположим, что прямые l
и m
лежат в одной плоскости. Ясно, что они не могут быть параллельными. Если точка пересечения прямых l
и m
лежит вне отрезка A_{1}C_{1}
(рис. 2), то, опустив перпендикуляры AD
и BE
из точек A
и B
на прямые BB_{1}
и CC_{1}
соответственно, получим подобные треугольники ADB
и BEC
, что невозможно, так как
\frac{BD}{AB}=\frac{3}{18}=\frac{1}{6}\ne\frac{5}{14}=\frac{CE}{BC}.
Аналогично для случая, когда точка пересечения прямых l
и m
лежит на отрезке A_{1}C_{1}
. Таким образом, l
и m
— скрещивающиеся прямые.
Рассмотрим ортогональную проекцию прямых l
и m
на плоскость \alpha
, перпендикулярную прямой m
(рис. 3). Пусть точки P
, Q
и R
— ортогональные проекции на эту плоскость точек A
, B
и C
соответственно, M
— проекция точек A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
. По свойству параллельного проектирования
\frac{PQ}{QR}=\frac{AB}{BC}=\frac{18}{14}=\frac{9}{7},
а так как отрезки AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
перпендикулярны прямой m
, то они параллельны плоскости \alpha
. Поэтому
PM=AA_{1}=12,~QM=BB_{1}=15,~MR=CC_{1}=20.
Положим PQ=9x
, QR=7x
, \angle MRP=\varphi
. Из треугольников MQR
и MPR
по теореме косинусов находим, что
\cos\varphi=\frac{400+49x^{2}-225}{2\cdot20\cdot7x},
\cos\varphi=\frac{400+256x^{2}-144}{2\cdot20\cdot16x}.
Из уравнения
\frac{400+49x^{2}-225}{2\cdot20\cdot7x}=\frac{400+256x^{2}-144}{2\cdot20\cdot16x}
находим, что x=1
. Поэтому PR=16x=16
.
Так как MP^{2}+PR^{2}=144+256=400=MR^{2}
, треугольник MPR
— прямоугольный, причём \angle MPR=90^{\circ}
. Поэтому PM
— перпендикуляр к проекции PR
наклонной l
на плоскость \alpha
. По теореме о трёх перпендикулярах MP\perp l
, а так как прямая PM
лежит в плоскости \alpha
, перпендикулярной прямой m
, то MP\perp m
. Осталось заметить, что отрезок MP
есть ортогональная проекция на плоскость \alpha
общего перпендикуляра прямых l
и m
. Так как этот общий перпендикуляр параллелен плоскости \alpha
, то он равен отрезку MP
. Следовательно, расстояние между прямыми l
и m
равно 12.