7754. Основание наклонной призмы — правильный треугольник со стороной a
. Одна из боковых граней призмы перпендикулярна плоскости основания и представляет собой ромб, диагональ которого равна b
. Найдите объём призмы.
Ответ. \frac{1}{8}ab\sqrt{12a^{2}-3b^{2}}
.
Решение. Пусть ABCA_{1}B_{1}C_{1}
— данная треугольная призма с основанием ABC
, её боковая грань AA_{1}C_{1}C
— ромб, плоскость грани AA_{1}C_{1}C
перпендикулярна плоскости основания.
Опустим перпендикуляр A_{1}K
из вершины A_{1}
на ребро AC
. Поскольку плоскости граней AA_{1}C_{1}C
и ABC
перпендикулярны, A_{1}K
— перпендикуляр к плоскости основания. Значит, A_{1}K
— высота призмы.
Пусть A_{1}C=b
, M
— точка пересечения диагоналей ромба AA_{1}C_{1}C
. Из равнобедренного треугольника AA_{1}C_{1}
находим, что
A_{1}K=\frac{A_{1}C\cdot AM}{AC}=\frac{b\cdot\sqrt{a^{2}-\frac{b^{2}}{4}}}{a}.
Следовательно,
V_{ABCA_{1}B_{1}C_{1}}=S_{\triangle ABC}\cdot A_{1}K=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{b\sqrt{a^{2}-\frac{b^{2}}{4}}}{a}=
=\frac{a^{2}b\sqrt{3a^{2}-\frac{3b^{2}}{4}}}{4a}=\frac{ab\sqrt{4a^{2}-b^{2}}}{8}=\frac{1}{8}ab\sqrt{12a^{2}-3b^{2}}.
Если AC_{1}=b
, получим тот же результат.
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 11.131