7755. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна a
. Через одно из рёбер основания проведена плоскость, перпендикулярная противоположному боковому ребру и делящая это ребро в отношении m:n
, считая от вершины основания. Найдите полную поверхность пирамиды.
Ответ. \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\left(1+\sqrt{\frac{3(m+2n)}{m}}\right)
.
Решение. Пусть плоскость, проходящая через сторону AB
основания ABC
правильной треугольной пирамиды ABCD
перпендикулярно боковому ребру CD
, пересекает это ребро в точке M
, причём CM:DM=m:n
. Обозначим CM=mx
, DM=nx
. Тогда BD=CD=(m+n)x
. Поскольку ребро CD
перпендикулярно секущей плоскости, BM\perp CD
. По теореме Пифагора из прямоугольных треугольников BMC
и BMD
находим, что
BC^{2}-CM^{2}=BD^{2}-DM^{2},~\mbox{или}~a^{2}-m^{2}x^{2}=(m+n)^{2}x^{2}-n^{2}x^{2},
откуда x^{2}=\frac{a^{2}}{2m(m+n)}
.
Пусть K
— середина AB
. Тогда DK
— апофема пирамиды ABCD
. Из прямоугольного треугольника DKB
находим, что
DK=\sqrt{BD^{2}-BK^{2}}=\sqrt{(m+n)^{2}x^{2}-\frac{a^{2}}{4}}=
=\sqrt{\frac{(m+n)^{2}a^{2}}{2m(m+n)}-\frac{a^{2}}{4}}=\frac{1}{2}a\sqrt{\frac{2(m+n)}{m}-1}=\frac{1}{2}a\sqrt{\frac{m+2n}{m}}.
Пусть S
— искомая полная поверхность пирамиды. Тогда
S=S_{\triangle ABC}+3S_{\triangle ABD}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}+\frac{3}{4}a^{2}\sqrt{\frac{m+2n}{m}}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\left(1+\sqrt{\frac{3(m+2n)}{m}}\right).
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 11.136