7756. Основание пирамиды — параллелограмм со сторонами 10 и 18, и площадью 90. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 6. Найдите боковую поверхность пирамиды.
Ответ. 192.
Решение. Пусть O
— центр параллелограмма ABCD
, лежащего в основании пирамиды PABCD
, PO
— высота пирамиды, AB=18
, BC=10
. Если прямая, проходящая через точку O
перпендикулярно противоположным сторонам AD
и BC
параллелограмма ABCD
, пересекает эти прямые соответственно в точках M
и K
, то по теореме о трёх перпендикулярах PM\perp AD
и PK\perp BC
. Значит, PM
и PK
— высоты треугольников ADP
и BCP
. Поскольку MK
— высота параллелограмма ABCD
, а O
— середина MK
, то
90=S_{ABCD}=BC\cdot MK=10MK,
поэтому
MK=9,~OM=OK=\frac{9}{2},
PM=PK=\sqrt{PO^{2}+OK^{2}}=\sqrt{36+\frac{81}{4}}=\frac{15}{2},
S_{\triangle ADP}=S_{\triangle BCP}=\frac{1}{2}BC\cdot PK=\frac{1}{2}\cdot10\cdot\frac{15}{2}=\frac{150}{4}.
Если прямая, проходящая через точку O
перпендикулярно противоположным сторонам AB
и CD
параллелограмма ABCD
, пересекает эти прямые соответственно в точках E
и F
, то аналогично предыдущему
EF=\frac{S_{ABCD}}{AB}=\frac{90}{18}=5,~OF=OE=\frac{5}{2},
PF=PE=\sqrt{PO^{2}+OE^{2}}=\sqrt{36+\frac{25}{4}}=\frac{13}{2},
S_{\triangle CDP}=S_{\triangle ABP}=\frac{1}{2}AB\cdot PE=\frac{1}{2}\cdot18\cdot\frac{13}{2}=\frac{234}{4}.
Следовательно, боковая поверхность пирамиды PABCD
равна
2S_{\triangle ADP}+2S_{\triangle ABP}=2(S_{\triangle ADP}+S_{\triangle ABP})=2\left(\frac{150}{4}+\frac{234}{4}\right)=192.