7758. Основание наклонной призмы — равносторонний треугольник со стороной a
. Одно из боковых рёбер равно b
и образует с прилежащими сторонами основания углы 45^{\circ}
. Найдите боковую поверхность призмы.
Ответ. ab(1+\sqrt{2})
.
Решение. Пусть боковое ребро AA_{1}
данной треугольной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
образует со сторонами AB
и AC
углы, равные 45^{\circ}
. Из вершины A_{1}
опустим перпендикуляр A_{1}P
на плоскость основания ABC
, а из точки P
— перпендикуляры PM
и PN
на прямые AB
и AC
. По теореме о трёх перпендикулярах A_{1}M\perp AB
и A_{1}N\perp AC
. Прямоугольные треугольники AA_{1}M
и AA_{1}N
равны по гипотенузе и острому углу, поэтому PM=PN
, т. е. точка P
— равноудалена от сторон AB
и AC
угла BAC
. Значит, точка P
лежит на биссектрисе этого угла, а так как биссектриса равнобедренного треугольника является его высотой, то AP\perp BC
. Таким образом, ортогональная проекция наклонной AA_{1}
на плоскость основания перпендикулярна прямой BC
. По теореме о трёх перпендикулярах AA_{1}\perp BC
. Значит, BB_{1}\perp BC
и CC_{1}\perp BC
, а параллелограмм BB_{1}C_{1}C
— прямоугольник. Далее имеем:
S_{BB_{1}C_{1}C}=BC\cdot BB_{1}=ab,~A_{1}N=A_{1}M=AA_{1}\sin\angle A_{1}AM=\frac{b\sqrt{2}}{2},
S_{AA_{1}C_{1}C}=S_{AA_{1}B_{1}B}=AB\cdot A_{1}M=\frac{ab\sqrt{2}}{2}.
Если S
— боковая поверхность призмы, то
S=S_{BB_{1}C_{1}C}+S_{AA_{1}C_{1}C}+S_{AA_{1}B_{1}B}=
=S_{BB_{1}C_{1}C}+2S_{AA_{1}B_{1}B}=ab+ab\sqrt{2}=ab(1+\sqrt{2}).
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 11.155