7759. В полушар радиуса R
вписан куб так, что четыре его вершины лежат на основании полушара, а другие четыре вершины расположены на его сферической поверхности. Найдите объём куба.
Ответ. \frac{2R^{3}\sqrt{6}}{9}
.
Решение. Пусть вершины A
, B
, C
и D
куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
с ребром, равным x
, лежат на основании данного полушара с центром O
, а вершины A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
и D_{1}
— на сферической поверхности. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника AA_{1}O
находим, что
OA^{2}_{1}=OA^{2}+AA^{2}_{1},~\mbox{или}~R^{2}=\left(\frac{x\sqrt{2}}{2}\right)^{2}+x^{2},
откуда x=R\sqrt{\frac{2}{3}}
. Следовательно,
V_{ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=x^{3}=\left(R\sqrt{\frac{2}{3}}\right)^{3}=\frac{2R^{3}\sqrt{\frac{2}{3}}}{3}=\frac{2R^{3}\sqrt{6}}{9}.