7767. Высота пирамиды равна 5, а основанием служит треугольник со сторонами 7, 8 и 9. Некоторая сфера касается плоскостей всех боковых граней пирамиды в точках, лежащих на сторонах основания. Найдите радиус сферы.
Ответ. \sqrt{6}
.
Указание. Докажите, что прямая, проходящая через вершину пирамиды и центр сферы, перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
Решение. Пусть сфера с центром O
и радиусом R
касается плоскостей боковых граней ABD
, BCD
и ACD
в точках C_{1}
, A_{1}
и B_{1}
, лежащих соответственно на сторонах AB
, BC
и AC
основания ABC
, причём AB=7
, BC=8
, AC=9
(рис. 1).
Сечение сферы плоскостью основания ABC
— окружность с центром в некоторой точке O_{1}
, вписанная в треугольник ABC
. Прямые OC_{1}
, OA_{1}
и OB_{1}
перпендикулярны плоскостям граней ABD
, BCD
и ACD
соответственно. Прямоугольные треугольники OC_{1}D
, OA_{1}D
и OB_{1}D
равны по катету и гипотенузе, поэтому боковые рёбра DC_{1}
, DA_{1}
и DB_{1}
треугольной пирамиды A_{1}B_{1}C_{1}D
равны. Значит, высота DH
этой пирамиды проходит через точку O_{1}
— центр окружности, описанной около треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
. Так как DO_{1}
— также высота пирамиды ABCD
, то DO_{1}=5
. Кроме того, OO_{1}
— перпендикуляр к плоскости основания ABC
, значит, точки D
, O_{1}
и O
лежат на одной прямой, и эта прямая перпендикулярна плоскости основания данной пирамиды.
Пусть r
— радиус вписанной окружности треугольника ABC
, p
— полупериметр треугольника, S
— его площадь. Тогда
p=12,~S=\sqrt{12(12-7)(12-8)(12-9)}=\sqrt{12\cdot5\cdot4\cdot3}=12\sqrt{5},
O_{1}A_{1}=r=\frac{S}{p}=\frac{12\sqrt{5}}{12}=\sqrt{5}.
В прямоугольном треугольнике DA_{1}O
известны высота A_{1}O_{1}=\sqrt{5}
, проведённая из вершины прямого угла, и отрезок DO_{1}=5
(рис. 2). Обозначим \angle A_{1}DO=\angle OA_{1}O_{1}=\alpha
. Далее находим:
A_{1}D=\sqrt{OD^{2}+OA^{2}}=\sqrt{25+5}=\sqrt{30},~\frac{DO_{1}}{DA_{1}}=\cos\alpha=\frac{A_{1}O_{1}}{OA_{1}},~\frac{5}{\sqrt{30}}=\frac{\sqrt{5}}{R},
откуда R=\sqrt{30}\cdot\frac{\sqrt{5}}{5}=\sqrt{6}
.