7769. Правильную четырёхугольную пирамиду пересекает плоскость, проходящая через вершину основания перпендикулярно противоположному боковому ребру. Площадь получившегося сечения в два раза меньше площади основания пирамиды. Найдите отношение высоты пирамиды к боковому ребру.
Ответ. \frac{1+\sqrt{33}}{8}
.
Указание. Докажите, что диагонали полученного в сечении четырёхугольника взаимно перпендикулярны.
Решение. Пусть PABCD
— правильная четырёхугольная пирамида с вершиной P
, \alpha
— угол между высотой PO
и боковым ребром. Тогда искомое отношение высоты пирамиды к её боковому ребру равно \cos\alpha
.
Пусть плоскость сечения проходит через точку A
перпендикулярно прямой PC
и пересекает рёбра PC
, PB
и PD
в точках M
, K
и L
соответственно. Поскольку прямая DB
и секущая плоскость перпендикулярны прямой PC
, прямая BD
параллельна секущей плоскости. Через прямую BD
проведена плоскость BPD
, пересекающая секущую плоскость по прямой KL
. Значит, KL\parallel BD
, а так как AM\perp BD
(теорема о трёх перпендикулярах), то KL\perp AM
. Поэтому площадь четырёхугольника AKML
равна половине произведения его диагоналей AM
и KL
.
Пусть отрезки AM
и KL
пересекаются в точке N
. Обозначим сторону квадрата ABCD
через a
. Так как \angle MAC=\angle OPC=\alpha
, а \angle ACM=90^{\circ}-\alpha
, то
AM=AC\cos\alpha=a\sqrt{2}\cos\alpha,
ON=OA\tg\alpha=\frac{1}{2}a\sqrt{2}\tg\alpha,~PO=OC\ctg\alpha=\frac{1}{2}a\sqrt{2}\ctg\alpha,
PN=PO-ON=\frac{1}{2}a\sqrt{2}\ctg\alpha-\frac{1}{2}a\sqrt{2}\tg\alpha=\frac{1}{2}a\sqrt{2}(\ctg\alpha-\tg\alpha),
\frac{LK}{BD}=\frac{PN}{PO}=\frac{\frac{1}{2}a\sqrt{2}(\ctg\alpha-\tg\alpha)}{\frac{1}{2}a\sqrt{2}\ctg\alpha}=1-\tg^{2}\alpha,
LK=BD(1-\tg^{2}\alpha)=a\sqrt{2}(1-\tg^{2}\alpha),
S_{AKML}=\frac{1}{2}AM\cdot KL=\frac{1}{2}a\sqrt{2}\cos\alpha\cdot a\sqrt{2}(1-\tg^{2}\alpha)=
=a^{2}\cos\alpha(1-\tg^{2}\alpha).
Тогда
\frac{1}{2}=\frac{S_{AKML}}{S_{ABCD}}=\cos\alpha(1-\tg^{2}\alpha).
Применив формулу \tg^{2}\alpha=\frac{1}{\cos^{2}\alpha}-1
, получим уравнение
\cos\alpha\left(2-\frac{1}{\cos^{2}\alpha}\right)=\frac{1}{2},
или
2\cos\alpha-\frac{1}{\cos\alpha}=\frac{1}{2},~4\cos^{2}\alpha-\cos\alpha-2=0,
откуда находим, что \cos\alpha=\frac{1+\sqrt{33}}{8}
(второе решение не удовлетворяет условию задачи). Следовательно,
\frac{PO}{PC}=\cos\alpha=\frac{1+\sqrt{33}}{8}.