7773. В основании пирамиды SABCD
лежит четырёхугольник ABCD
, у которого стороны AD
и BC
параллельны, сторона AB
равна 4, сторона BC
равна 8, а угол ABC
равен 60^{\circ}
. Ребро SB
равно 8\sqrt{2}
. Найдите объём пирамиды, если известно, что через прямые AD
и BC
можно провести две плоскости, не совпадающие с основанием пирамиды и пересекающие пирамиду по равным четырёхугольникам.
Ответ. \frac{160\sqrt{3}}{3}
.
Указание. Пусть плоскость, проходящая через сторону AD
основания ABCD
пирамиды SABCD
, пересекает боковые рёбра BS
и CS
соответственно в точках M
и N
, а плоскость, проходящая через сторону BC
, пересекает боковые рёбра AS
и DS
соответственно в точках P
и Q
. Докажите, что четырёхугольники BPQC
и AMND
— трапеции, причём BC=AD
, PQ=MN
, BP=DN
и CQ=AM
.
Решение. Пусть плоскость, проходящая через сторону AD
основания ABCD
пирамиды SABCD
, пересекает боковые рёбра BS
и CS
соответственно в точках M
и N
, а плоскость, проходящая через сторону BC
, пересекает боковые рёбра AS
и DS
соответственно в точках P
и Q
. Плоскости ASD
и BPQC
проходят через параллельные прямые AD
и BC
и пересекаются по прямой PQ
. Значит, PQ\parallel BC
. Аналогично, MN\parallel AD
.
Предположим, что AM\parallel DN
. Тогда BP\parallel CQ
. В этом случае две пересекающиеся прямые плоскости ASB
соответственно параллельны двум пересекающимся прямым плоскости CSD
, значит, эти плоскости параллельны, что невозможно. Таким образом, данные четырёхугольники — трапеции.
Кроме того, PQ\lt AD
и MN\lt BC
, поэтому в равных трапециях BPQC
и AMND
соответственно равны основания BC
и AD
и основания PQ
и MN
.
В четырёхугольнике ABCD
противоположные стороны AD
и BC
равны и параллельны, поэтому ABCD
— параллелограмм и
S_{ABCD}=AD\cdot AB\sin60^{\circ}=16\sqrt{3}.
Так как PQ\parallel AD
и MN\parallel BC
, то
\frac{SP}{AS}=\frac{PQ}{AD}=\frac{MN}{BC}=\frac{SM}{BS},
поэтому PM\parallel AB
. Аналогично, QN\parallel CD
, поэтому PM\parallel QN
, а так как PQ\parallel MN
, то PMNQ
— параллелограмм. Значит, PM=NQ
.
Пусть отрезки AM
и BP
пересекаются в точке E
, а отрезки CQ
и DN
— в точке F
. Предположим, что AM=CQ
и BP=DN
. Тогда треугольники PEM
и NFQ
равны по трём сторонам, поэтому \angle AMP=\angle CQN
. Значит, треугольники APM
и CQN
равны по двум сторонам и углу между ними. Тогда AP=CN
, а так как AP/AS=DQ/DS
, то AS=DS
. Аналогично, BS=CS
.
Пусть O
— ортогональная проекция вершины S
на плоскость основания ABCD
. Тогда OA=OD
и OB=OC
как ортогональные проекции равных наклонных. Значит, точка O
лежит на серединных перпендикулярах к противоположным сторонам AD
и BC
параллелограмма ABCD
. Поскольку параллелограмм ABCD
не является прямоугольником, серединные перпендикуляры к двум его противоположным сторонам параллельны. Таким образом, предположение о том, что AM=DN
и BP=CQ
приводит к противоречию.
Остаётся рассмотреть случай, когда AM=BP
и CQ=DN
. Рассуждая аналогично, получим, что AS=CS
и BS=DS
. Тогда точка O
принадлежит серединным перпендикулярам к диагоналям AC
и BD
параллелограмма ABCD
, т. е. совпадает с центром параллелограмма ABCD
. Далее находим:
BD=\sqrt{AD^{2}+AB^{2}-2AD\cdot AB\cos120^{\circ}}=\sqrt{64+16+32}=4\sqrt{7},
SO=\sqrt{BS^{2}-OB^{2}}=\sqrt{(8\sqrt{2})^{2}-(2\sqrt{7})^{2}}=10,
V_{SABCD}=\frac{1}{3}S_{ABCD}=\frac{1}{3}\cdot16\sqrt{3}\cdot10=\frac{160\sqrt{3}}{3}.