7781. Три шара радиуса r
лежат на нижнем основании правильной треугольной призмы, причём каждый из них касается двух других шаров и двух боковых граней призмы. На этих шарах лежит четвёртый шар, который касается всех боковых граней и верхнего основания призмы. Найдите высоту призмы.
Ответ. \frac{1}{3}r(6+\sqrt{3}+\sqrt{27+12\sqrt{3}})
.
Указание. Рассмотрите правильную треугольную пирамиду с вершинами в центрах данных шаров.
Решение. Пусть O_{1}
, O_{2}
, O_{3}
— центры шаров, касающихся нижнего основания призмы, O
— центр четвёртого шара, R
— его радиус, H
— искомая высота призмы, a
— сторона основания призмы, h
— высота правильной треугольной пирамиды OO_{1}O_{2}O_{3}
с вершиной O
(рис. 1).
Рассмотрим ортогональную проекцию призмы и данных шаров на плоскость основания призмы (рис. 2). Получим три окружности радиусов r
, касающиеся сторон равностороннего треугольника со стороной a
, и попарно касающиеся между собой, а также окружность радиуса R
, вписанную в этот треугольник. Имеем:
a=2r+2r\sqrt{3}=2r(1+\sqrt{3}),
R=\frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{2r(1+\sqrt{3})\sqrt{3}}{6}=\frac{r(1+\sqrt{3})\sqrt{3}}{3}=r\left(1+\frac{\sqrt{3}}{3}\right).
Сторона основания правильной треугольной пирамиды OO_{1}O_{2}O_{3}
равна 2r
, боковое ребро равно r+R
. Поэтому
h=\sqrt{(r+R)^{2}-\left(\frac{2r\sqrt{3}}{3}\right)^{2}}=\sqrt{R^{2}+2rR-\frac{r^{2}}{3}}=
=r\sqrt{\left(1+\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^{2}+2\left(1+\frac{\sqrt{3}}{3}\right)-\frac{1}{3}}=r\sqrt{3+\frac{4\sqrt{3}}{3}}=\frac{1}{3}\sqrt{27+12\sqrt{3}}.
Следовательно,
H=r+h+R=r+\frac{1}{3}r\sqrt{27+12\sqrt{3}}+r\left(1+\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=
=\frac{1}{3}r(6+\sqrt{3}+\sqrt{27+12\sqrt{3}}).