7782. Основанием пирамиды служит равнобедренный прямоугольный треугольник, катет которого равен 8. Каждое из боковых рёбер пирамиды равно 9. Найдите объём пирамиды.
Ответ. \frac{224}{3}
.
Указание. Докажите, что высота данной пирамиды проходит через центр описанной около основания окружности, т. е. через середину гипотенузы треугольника основания.
Решение. Пусть DH
— высота треугольной пирамиды ABCD
, ABC
— прямоугольный треугольник, в котором \angle C=90^{\circ}
, AC=BC=8
. Поскольку DH
— перпендикуляр к плоскости ABC
, отрезки AH
, BH
и CH
— проекции наклонных AD
, BD
и CD
на плоскость ABC
. По условию
AD=BD=CD=9.
Прямоугольные треугольники DAH
, DBH
и DCH
равны по катету и гипотенузе, поэтому AH=BH=CH
и H
— центр окружности, описанной около треугольника ABC
, а так как этот треугольник прямоугольный, то H
— середина гипотенузы AB
. Далее находим:
DH=\sqrt{AD^{2}-AH^{2}}=\sqrt{9^{2}-(4\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{81-32}=7.
Следовательно,
V_{ABCD}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot DH=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}BC\cdot AC\cdot DH=
=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot8\cdot8\cdot7=\frac{224}{3}.