7783. Высота прямой призмы равна 1, основанием призмы служит ромб со стороной 2 и острым углом 30^{\circ}
. Через сторону основания проведена секущая призму плоскость, наклонённая к плоскости основания под углом 60^{\circ}
. Найдите площадь сечения.
Ответ. \frac{4}{\sqrt{3}}
.
Указание. Пусть ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
— данная призма с основаниями ABCD
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, а данная плоскость проходит через прямую AB
. Докажите, то секущая плоскость пересекает рёбра A_{1}D_{1}
и B_{1}C_{1}
.
Решение. Пусть ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
— данная призма, основания ABCD
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
которой — ромбы со стороной 2, причём \angle DAB=30^{\circ}
и AA_{1}=BB_{1}=CC_{1}=DD_{1}=1
. Если DF
— высота ромба ABCD
, опущенная на сторону AB
, то по теореме о трёх перпендикулярах D_{1}F\perp AB
, поэтому DFD_{1}
— линейный угол двугранного угла между плоскостями основания ABCD
и диагонального сечения AD_{1}C_{1}B
. Так как DF=AD\sin30^{\circ}=1
, то \tg\angle DFD_{1}=\frac{D_{1}D}{DF}=1
. Поэтому \angle DFD_{1}=45^{\circ}\lt60^{\circ}
. Значит, данная в условии секущая плоскость пересекает рёбра A_{1}D_{1}
и B_{1}C_{1}
.
Обозначим через M
и N
соответствующие точки пересечения. Поскольку плоскости оснований параллелепипеда параллельны, а также параллельны плоскости противоположных боковых граней, то четырёхугольник AMNB
— параллелограмм.
Пусть MP
— перпендикуляр, опущенный из точки M
на плоскость основания ABCD
. Поскольку плоскости AA_{1}D_{1}D
и ABCD
перпендикулярны, точка P
лежит на их прямой пересечения AD
. Если MQ
— высота параллелограмма AMNB
, опущенная на сторону AB
, то по теореме о трёх перпендикулярах PQ\perp AB
, поэтому MQP
— линейный угол двугранного угла между плоскостями AMNB
и ABCD
. По условию задачи \angle MQP=60^{\circ}
. Значит,
MQ=\frac{MP}{\sin\angle MQP}=\frac{AA_{1}}{\sin60^{\circ}}=\frac{2}{\sqrt{3}}.
Следовательно,
S_{AMNB}=AB\cdot MQ=2\cdot\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{4}{\sqrt{3}}.
Источник: Вступительный экзамен на географический факультет МГУ. — 1968, вариант 2, № 3