7785. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD
через середины сторон основания AB
и AD
проведена плоскость, параллельная боковому ребру SA
. Найдите площадь сечения, зная сторону основания a
и боковое ребро b
.
Ответ. \frac{5ab\sqrt{2}}{16}
.
Решение. Пусть M
и N
— середины сторон AB
и AD
основания ABCD
правильной четырёхугольной пирамиды ABCD
, а P
, R
и Q
— точки пересечения секущей плоскости с рёбрами SB
, SC
и SD
соответственно. Плоскость боковой грани ASB
проходит через прямую SA
, параллельную секущей плоскости, и пересекает секущую плоскость по прямой MP
. Значит, MP\parallel AS
. Аналогично, NQ\parallel AS
и RF\parallel AS
, где F
— точка пересечения AC
и MN
.
Пусть SO
— высота пирамиды. Поскольку пирамида ABCD
правильная, O
— точка пересечения диагоналей квадрата ABCD
. По теореме о трёх перпендикулярах AS\perp BD
, а так как MP\parallel AS
и MN\parallel BD
, то MP\perp MN
. Кроме того MP
и NQ
— средние линии треугольников ASB
и ASD
, поэтому MP=\frac{1}{2}AS=NQ
. Значит, четырёхугольник MPQN
— прямоугольник.
Пусть L
— точка пересечения отрезков FR
и PQ
. Из подобия треугольников CFR
и CAS
находим, что
FR=AS\cdot\frac{CF}{AC}=\frac{3}{4}AS=\frac{3}{4}b.
Поэтому
LR=FR-LF=\frac{3}{4}b-\frac{1}{2}b=\frac{1}{4}b.
Далее находим:
S_{MPRQN}=S_{MPQN}+S_{\triangle PRQ}=MN\cdot MP+\frac{1}{2}PQ\cdot LR=
=\frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{b}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{b}{4}=\frac{5ab\sqrt{2}}{16}.
Источник: Вступительный экзамен на географический факультет МГУ. — 1968, вариант 4, № 3
Источник: Моденов П. С. Экзаменационные задачи по математике с анализом их решения. — М.: Просвещение, 1969. — вариант 4, № 3, с. 338