7786. Дана правильная треугольная пирамида SABC
(S
— вершина) со стороной основания a
и боковым ребром b
. Первая сфера с центром в точке O_{1}
касается плоскостей SAB
и SAC
в точках B
и C
, а вторая сфера с центром в точке O_{2}
касается плоскостей SAC
и SBC
в точках A
и B
. Найдите объём пирамиды SO_{1}BO_{2}
.
Ответ. \frac{a^{2}b^{2}}{12\sqrt{3b^{2}-a^{2}}}
.
Указание. Если плоскость, проходящая через точки B
, C
и O_{1}
, пересекает боковое ребро пирамиды SABC
в точке P
, то BPC
— линейный угол двугранного угла между боковыми гранями ASB
и ASC
.
Решение. Пусть плоскость, проходящая через точки B
, C
и O_{1}
, пересекает боковое ребро AS
пирамиды SABC
в точке P
(рис. 1). Прямые O_{1}B
и O_{1}C
перпендикулярны плоскостям соответственно ASB
и ASC
как радиусы, проведённые в точки касания сферы с центром O_{1}
с этими плоскостями. Поэтому прямая AS
перпендикулярна проведённой плоскости (рис. 2). Значит, BP\perp AS
и CP\perp AS
, а BPC
— линейный угол двугранного угла между плоскостями боковых граней ASB
и ASC
.
Положим \angle BPC=2\alpha
, O_{1}B=O_{1}C=R
. Тогда \angle O_{1}PB=\angle O_{1}PC=\alpha
. Если M
— точка пересечения отрезков O_{1}P
и BC
, то M
— середина стороны BC
равностороннего треугольника ABC
и \angle O_{1}BM=\angle O_{1}PB=\alpha
. Поэтому
R=O_{1}B=\frac{BM}{\cos\angle O_{1}BM}=\frac{a}{2\cos\alpha}.
Аналогично находим, что радиус второй сферы также равен \frac{a}{2\cos\alpha}
.
Рассмотрим сечение пирамиды SABC
плоскостью, проходящей через точки A
, M
и S
. Пусть K
— центр треугольника ABC
. В треугольнике AMS
известно, что
AS=b,~AM=\frac{a\sqrt{3}}{2},~AK=\frac{a\sqrt{3}}{3}.
Поэтому
SK=\sqrt{AS^{2}-AK^{2}}=\sqrt{b^{2}-\frac{a^{2}}{3}},
PM=\frac{AM\cdot SK}{AS}=\frac{a\sqrt{b^{2}-\frac{a^{2}}{3}}}{b}=\frac{a\sqrt{3b^{2}-a^{2}}}{2b}.
Из прямоугольного треугольника BMP
находим, что
\tg\alpha=\tg\angle BPM=\frac{BM}{PM}=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{3b^{2}-a^{2}}}{2b}}=\frac{b}{\sqrt{3b^{2}-a^{2}}}.
Поскольку SB\perp O_{1}B
и SB\perp O_{2}B
, ребро SB
— высота треугольной пирамиды SO_{1}BO_{2}
. Основание этой пирамиды — равнобедренный треугольник O_{1}BO_{2}
, боковые стороны которого равны R
, а угол между ними равен 180^{\circ}-2\alpha
, так как его стороны соответственно перпендикулярны боковым граням BSC
и ASB
правильной пирамиды SABC
. Следовательно,
V_{SO_{1}BO_{2}}=\frac{1}{3}S_{\triangle O_{1}BO_{2}}\cdot SB=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}O_{1}B\cdot O_{2}B\sin(180^{\circ}-2\alpha)\cdot SB=
=\frac{1}{6}R^{2}\sin2\alpha\cdot b=\frac{1}{6}b\cdot\frac{a^{2}}{4\cos^{2}\alpha}\cdot\sin2\alpha\cdot b=
=\frac{1}{6}b\cdot2\sin\alpha\cos\alpha\cdot\frac{a^{2}}{4\cos^{2}\alpha}=\frac{a^{2}b\tg\alpha}{12}=\frac{a^{2}b^{2}}{12\sqrt{3b^{2}-a^{2}}}.