7790. В четырёхугольной пирамиде
OABCD
основанием является трапеция
ABCD
, а боковые грани
OAD
и
OBC
перпендикулярны основанию. Площадь грани
OAB
равна 9, площадь грани
OCD
равна 20, ребро
AB
равно 3, ребро
CD
равно 5. Найдите объём пирамиды.
Ответ.
6\sqrt{7}
.
Указание. Высота данной пирамиды лежит на прямой пересечения плоскостей
OAD
и
OBC
.
Решение. Предположим, что
AD\parallel BC
. Поскольку плоскости боковых граней
OAD
и
OBC
перпендикулярны плоскости основания, в каждой из плоскостей
OAD
и
OBC
содержится по прямой, перпендикулярной плоскости основания. Эти две прямые параллельны, так как обе они перпендикулярны одной и той же плоскости. Тогда две пересекающиеся прямые плоскости
OAD
соответственно параллельны двум пересекающимся прямым плоскости
OBC
. Значит, плоскости
OAD
и
OBC
параллельны, что противоречит условию (
O
— общая точка этих плоскостей). Следовательно,
AB
и
CD
— основания трапеции
ABCD
, а
AD
и
BC
— её боковые стороны.
Поскольку каждая из плоскостей
OAD
и
OBC
перпендикулярна плоскости
ABCD
, прямая пересечения плоскостей
OAD
и
OBC
перпендикулярна плоскости
ABCD
. Поэтому, если
H
— точка пересечения этой прямой с плоскостью
ABCD
, то
OH
— высота данной пирамиды.
Пусть
OM
— высота треугольника
AOB
. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах
HM\perp AB
, т. е.
HM
— высота треугольника
HAB
, а так как
CD\parallel AB
, то
HM\perp CD
. Пусть прямые
HM
и
CD
пересекаются в точке
N
. Тогда
HN\perp CD
и
ON\perp CD
, т. е.
ON
— высота треугольника
OCD
.
Треугольники
HAB
и
HDC
подобны с коэффициентом
\frac{3}{5}
. Пусть
HM=3x
. Тогда
HN=5x
,
MN=HN-HM=2x
, причём
MN
— высота трапеции
ABCD
. В прямоугольном треугольнике
OHN
известно, что
ON=2\cdot\frac{S_{\triangle OCD}}{CD}=2\cdot\frac{20}{5}=8,~OM=2\cdot\frac{S_{\triangle OAB}}{AB}=2\cdot\frac{9}{3}=6,

HN=5x,~HM=3x,~ON^{2}-HN^{2}=OH^{2}=OM^{2}-HM^{2},

поэтому
64-25x^{2}=36-9x^{2}
, откуда
x=\frac{\sqrt{7}}{2}
. Значит,
OH=\sqrt{36-9x^{2}}=\sqrt{36-\frac{63}{4}}=\sqrt{\frac{81}{4}}=\frac{9}{2},

S_{ABCD}=\frac{1}{2}(AB+CD)\cdot MN=4\cdot2x=8x=4\sqrt{7}.

Следовательно,
V_{OABCD}=\frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot OH=\frac{1}{3}\cdot4\sqrt{7}\cdot\frac{9}{2}=6\sqrt{7}.

Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет МГУ. — 1968 (инженерный поток), вариант 1, № 3
Источник: Моденов П. С. Экзаменационные задачи по математике с анализом их решения. — М.: Просвещение, 1969. — вариант 1, № 3, с. 322