7796. Сфера радиуса R
делит каждое из рёбер SA
, SC
, AB
и BC
треугольной пирамиды SABC
на три равные части и проходит через середины рёбер AC
и SB
. Найдите высоту пирамиды, опущенную из вершины S
.
Ответ. \frac{4R\sqrt{14}}{7}
.
Указание. Докажите, что AB=BC=CS=AS
, сфера касается рёбер BS
и AC
, а также BS=AC
.
Решение. Пусть указанная сфера проходит через точки P
, Q
ребра AS
(рис. 1), точки E
, F
ребра AB
, через точку M
ребра AC
и точку N
ребра BS
, причём
AP=PQ=QS,~AE=EF=BF,~AM=CM,~BN=NS.
Обозначим AP=PQ=QS=x
. Рассмотрим сечение сферы плоскостью грани ASB
(рис. 2). Получим окружность, проходящую через точки P
, Q
, E
, F
и N
. Из равенства AP\cdot AQ=AE\cdot AF
следует, что
AE=EF=BF=x.
Поэтому AB=AS=3x
.
Пусть N_{1}
— отличная от N
общая точка сферы и прямой BS
. Тогда SN_{1}\cdot SN=SQ\cdot SP=2x^{2}
и BN_{1}\cdot BN=BF\cdot BE=2x^{2}
, а так как SN=BN
, то SN_{1}=BN_{1}
, т. е. N_{1}
— также середина отрезка BS
, что невозможно. Значит, прямая BS
имеет со сферой единственную общую точку N
, т. е. касается сферы в точке N
. Аналогично, BC=3x
, SC=3x
и прямая AC
касается сферы в точке M
.
Из равенств BN^{2}=BF\cdot BE=2x^{2}
и AM^{2}=AP\cdot AQ=2x^{2}
следует, что BS=AC=2x\sqrt{2}
.
Пусть G
— точка ребра BC
, причём BG=\frac{1}{3}BC
. Поскольку сфера проходит через точки F
и G
, её центр лежит в плоскости, проходящей через середину отрезка FG
и перпендикулярной FG
, а так как треугольники ABC
и ASC
равнобедренные, то эта плоскость проходит через точки B
, S
и M
(рис. 3). Плоскости BSM
и ABC
перпендикулярны, так как плоскость ABC
проходит через прямую FG
, перпендикулярную плоскости BSM
. Значит, высота SH
пирамиды SABC
лежит в плоскости BSM
.
Сечение сферы плоскостью BSM
— окружность радиуса R
, касающаяся основания BS
равнобедренного треугольника BSM
в точке N
— середине BS
, и проходящая через вершину M
. Поэтому высота MN
треугольника BSM
равна 2R
, а высота этого треугольника, проведённая из вершины S
, совпадает с высотой SH
пирамиды SABCD
.
Из треугольника ABC
находим, что
BM=\sqrt{AB^{2}-AM^{2}}=\sqrt{9x^{2}-2x^{2}}=x\sqrt{7}.
Таким образом, в треугольнике BSM
известно, что
BM=MS=x\sqrt{7},~BN=SN=x\sqrt{2},~MN=2R.
Так как BS\cdot MN=BM\cdot SH
, то
SH=\frac{BS\cdot MN}{BM}=\frac{2x\sqrt{2}\cdot2R}{x\sqrt{7}}=\frac{4R\sqrt{2}}{\sqrt{7}}=\frac{4R\sqrt{14}}{7}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет МГУ. — 1993 вариант 1, № 5
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 2: Стереометрия. — М.: МЦНМО, 2006. — , № 29, с. 240