7798. Внутри некоторого тетраэдра взяли произвольную точку X
. Через каждую вершину тетраэдра провели прямую, параллельную отрезку, соединяющему X
с точкой пересечения медиан противоположной грани. Докажите, что четыре полученные прямые пересекаются в одной точке.
Решение. Лемма. Медианы тетраэдра (отрезки, соединяющие вершины с точками пересечения медиан противолежащих граней) пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 3:1
, считая от вершины.
Доказательство. Докажем, что любые две медианы тетраэдра пересекаются и делятся точкой пересечения в отношении 3:1
, считая от вершины. Отсюда будет следовать, что через точку, делящую одну из медиан тетраэдра в отношении 3:1
, считая от вершины, проходят остальные три медианы.
Пусть A_{1}
и C_{1}
— точки пересечения медиан граней BCD
и ABC
тетраэдра ABCD
, M
— середина BD
. Плоскость, проходящая через точки A
, M
и C
, содержит точки A_{1}
и C_{1}
, причём стороны AM
и CM
треугольника AMC
делятся этими точками в одном и том же отношении:
AC_{1}:C_{1}M=CA_{1}:A_{1}M=2:1.
Из подобия треугольников AMC
и C_{1}MA_{1}
следует, что
AC:A_{1}C_{1}=MA_{1}:MC=MC_{1}:MA=3:1.
Пусть отрезки AA_{1}
и CC_{1}
пересекаются в точке O
. Из подобия треугольников AOC
и A_{1}OC_{1}
следует, что
AO:OA_{1}=CO:OC_{1}=AC:A_{1}C_{1}=3:1.
Отсюда следует доказательство леммы.
Перейдём к нашей задаче. Пусть медианы AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
и DD_{1}
тетраэдра ABCD
пересекаются в точке O
, а l_{A}
— прямая, проходящая через вершину A
параллельно XA_{1}
.
Точка O
лежит в плоскости параллельных прямых l_{A}
и XA_{1}
, так как она лежит на прямой AA_{1}
. Прямые OX
и l_{A}
лежат в одной плоскости и не параллельны (иначе точка X
совпала бы с A_{1}
). Пусть они пересекаются в некоторой точке P
. Из подобия треугольников AOP
и A_{1}XO
находим, что OP=3OX
. При этом точка P
лежит на продолжении отрезка XO
за точку O
.
Аналогично докажем, что остальные три прямые l_{B}
, l_{C}
и l_{D}
, о которых говорится в условии задачи, также проходят через точку P
.
(При гомотетии с центром O
и коэффициентом -3
точка A_{1}
переходит в вершину A
, прямая A_{1}X
— в прямую, проходящую через вершину A
параллельно A_{1}X
, т. е. в прямую l_{A}
. Аналогично прямые B_{1}X
, C_{1}X
и D_{1}X
переходят в прямые l_{B}
, l_{C}
и l_{D}
соответственно. Поскольку прямые XA_{1}
, XB_{1}
, XC_{1}
и XD_{1}
пересекаются в точке X
, гомотетичные им прямые l_{A}
, l_{B}
, l_{C}
и l_{D}
пересекаются в точке P
, гомотетичной X
.)