7800. В шаре проведён диаметр AB
и две равные хорды AM
и AN
, каждая расположена под углом \alpha
к диаметру. Найдите угол между хордами, если отрезок MN
виден из центра шара под углом \beta
.
Ответ. 2\arcsin\left(\frac{\sin\frac{\beta}{2}}{2\cos\alpha}\right)
.
Решение. Пусть O
— центр сферы, K
— середина MN
, L
— середина AM
. Тогда OA=OM=ON=R
. Из равнобедренных треугольников MON
и AOM
находим, что
MK=OM\sin\angle MOK=R\sin\frac{\beta}{2},
AM=2AL=2AO\cos\angle MAO=2R\cos\alpha.
Из равнобедренного треугольника MAN
находим, что
\sin\angle MAK=\frac{MK}{AM}=\frac{R\sin\frac{\beta}{2}}{2R\cos\alpha}=\frac{\sin\frac{\beta}{2}}{2\cos\alpha}.
Следовательно,
\angle MAN=2\angle MAK=2\arcsin\left(\frac{\sin\frac{\beta}{2}}{2\cos\alpha}\right).