7801. Внутренняя точка A
шара радиуса r
соединена с поверхностью шара тремя отрезками прямых, имеющими длину l
и проведёнными под углом \alpha
друг к другу. Найдите расстояние точки A
от центра шара.
Ответ. \left|l\sqrt{1-\frac{4}{3}\sin^{2}\frac{\alpha}{2}}-\sqrt{r^{2}-\frac{4}{3}l^{2}\sin^{2}\frac{\alpha}{2}}\right|
.
Решение. Пусть H
— основание перпендикуляра, опущенного из центра O
сферы на плоскость, проходящую через данные на сфере точки B
, C
и D
, причём AB=AC=AD=l
, \angle BAC=\angle CAD=\angle BAD=\alpha
. Тогда H
— центр правильного треугольника BCD
со стороной a
, где
a=2l\sin\frac{\alpha}{2},~HB=HC=HD=\frac{a\sqrt{3}}{3}=\frac{2l\sqrt{3}\sin\frac{\alpha}{2}}{3}.
Из прямоугольных треугольников OHB
и AHD
находим, что
OH^{2}=OB^{2}-HB^{2}=r^{2}-\left(\frac{2l\sqrt{3}\sin\frac{\alpha}{2}}{3}\right)^{2}=r^{2}-\frac{4l^{2}\sin^{2}\frac{\alpha}{2}}{3},
AH^{2}=AB^{2}-HB^{2}=l^{2}-\left(\frac{2l\sqrt{3}\sin\frac{\alpha}{2}}{3}\right)^{2}=\frac{l^{2}(1-4\sin^{2}\frac{\alpha}{2})}{3}.
Если точка O
лежит вне отрезка AH
, то
OA=OH-AH=l\sqrt{1-\frac{4}{3}\sin^{2}\frac{\alpha}{2}}-\sqrt{r^{2}-\frac{4}{3}l^{2}\sin^{2}\frac{\alpha}{2}}.
Если точка O
лежит на отрезка AH
, то
OA=AH-OH=\sqrt{r^{2}-\frac{4}{3}l^{2}\sin^{2}\frac{\alpha}{2}}-l\sqrt{1-\frac{4}{3}\sin^{2}\frac{\alpha}{2}}.