7802. Поверхность шара радиуса r
проходит через вершину правильной шестиугольной пирамиды. Рёбра пирамиды пересекают поверхность шара на расстоянии l
от вершины. Найдите угол между соседними рёбрами, исходящими из вершины пирамиды.
Ответ. \arccos\left(\frac{4r^{2}+l^{2}}{8r^{2}}\right)
.
Решение. Пусть P
— вершина правильной шестиугольной пирамиды, лежащая на сфере радиуса r
с центром в точке O
, M
— центр основания пирамиды, а боковые рёбра пирамиды пересекают сферу в точках A
, B
, C
, D
, E
и F
, причём
AP=BP=CP=DP=EP=FP=l.
Тогда PABCDEF
— правильная шестиугольная пирамида с вершиной P
, вписанная в данную сферу радиуса r
. Ясно, что центр сферы лежит на высоте PH
пирамиды. Рассмотрим сечение пирамиды PABCDEF
плоскостью, проходящей через точки A
, D
и P
. Получим равнобедренный треугольник ADP
, вписанный в окружность радиуса r
с центром O
. Продолжим радиус PO
до пересечения с окружностью в точке Q
. Тогда QDP
— прямоугольный треугольник, а DM
— его высота, проведённая из вершины прямого угла D
. Поэтому PD^{2}=PQ\cdot PM
, откуда находим, что
PM=\frac{PD^{2}}{PQ}=\frac{l^{2}}{2r}.
Значит,
AB^{2}=DM^{2}=PD^{2}-PM^{2}=l^{2}-\frac{l^{4}}{4r^{2}}.
Обозначим \angle APB=\alpha
. Из равнобедренного треугольника APB
по теореме косинусов находим, что
\cos\alpha=\cos\angle APB=\frac{PA^{2}+PB^{2}-AB^{2}}{2PA\cdot PB}=
=\frac{l^{2}+l^{2}-l^{2}+\frac{l^{4}}{4r^{2}}}{2l^{2}}=\frac{4r^{2}+l^{2}}{8r^{2}}.