7803. В шаре радиуса r
проведены диаметр AB
и три равные хорды AC
, AD
и AF
под углом \alpha
друг к другу. Найдите объём тела, ограниченного плоскостями треугольников ACD
, ADF
, ACF
, BCD
, BDF
и BCF
.
Ответ. \frac{8r^{3}}{\sqrt{3}}\sin^{2}\frac{\alpha}{2}(3-4\sin^{2}\frac{\alpha}{2})
.
Указание. Данное геометрическое тело состоит из двух правильных пирамид ACDF
и BCDF
с общим основанием CDE
, причём сумма высот этих пирамид равна диаметру шара.
Решение. Равнобедренные треугольники CAD
, CAF
и DAF
равны по двум сторонам и углу между ними,поэтому CD=CF=DF
. Значит, треугольник CDF
— равносторонний, а так как боковые рёбра треугольной пирамиды ACDF
с вершиной A
равны, то пирамида ACDF
— правильная. Её высота AH
проходит через центр равностороннего треугольника CDF
.
Поскольку данная сфера проходит через точки C
, D
и F
, её центр O
лежит на прямой AH
, поэтому вершина B
пирамиды BCDF
также лежит на прямой AH
. Поэтому пирамида BCDF
— правильная.
Обозначим CD=DF=CF=a
. Из равнобедренного треугольника CAD
находим, что AC=\frac{a}{2\sin\frac{\alpha}{2}}
. Рассмотрим сечение сферы плоскостью, проходящей через точки A
, C
и B
. Получим прямоугольный треугольник ABC
, в котором из вершины прямого угла C
проведена высота CH
. Далее имеем:
CH=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{4r^{2}-\frac{a^{2}}{4\sin^{2}\frac{\alpha}{2}}},~AC\cdot BC=AB\cdot CH,
\frac{a}{2\sin\frac{\alpha}{2}\cdot\sqrt{4r^{2}-\frac{a^{2}}{4\sin^{2}\frac{\alpha}{2}}}}=\frac{2r\cdot a\sqrt{3}}{3},
откуда
a^{2}=\frac{16}{3}r^{2}\sin^{2}\frac{\alpha}{2}\left(3-4\sin^{2}\frac{\alpha}{2}\right).
Данное в условии геометрическое тело состоит из двух правильных пирамид ACDF
и BCDF
с общим основанием CDE
, причём сумма высот этих пирамид равна диаметру шара. Пусть V
— искомый объём. Тогда
V=V_{ACDF}+V_{BCDF}=\frac{1}{3}S_{\triangle CDF}\cdot AH+\frac{1}{3}S_{\triangle CDF}\cdot BH=
=\frac{1}{3}S_{\triangle CDF}\cdot AB=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot2r=\frac{8}{\sqrt{3}}r^{3}\sin^{2}\frac{\alpha}{2}\left(3-4\sin^{2}\frac{\alpha}{2}\right).