7804. Верно ли, что высоты любого тетраэдра пересекаются в одной точке?
Ответ. Нет.
Решение. Пусть ABC
и ABD
— треугольники, лежащие в перпендикулярных плоскостях, причём AC=BC
, а AD\ne BD
. Тогда высота CK
треугольника ABC
проходит через середину отрезка AB
и является высотой тетраэдра ABCD
. Высота DM
треугольника ABD
также является высотой тетраэдра ABCD
, а так как AD\ne BD
, то точка M
отлична от середины K
отрезка AB
. Таким образом, прямая CK
лежит в плоскости ABC
, а прямая DM
пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на CK
. Следовательно, CK
и DM
— скрещивающиеся прямые.