7806. Высоты, проведённые из вершин B
и C
тетраэдра ABCD
пересекаются. Докажите, что AD\perp BC
(а значит, в одной точке пересекаются высоты, опущенные из вершин A
и D
).
Решение. Пусть BB_{1}
и CC_{1}
— высоты тетраэдра ABCD
. Через пересекающиеся прямые BB_{1}
и CC_{1}
проведём плоскость. Прямая AD
перпендикулярна этой плоскости, так как она перпендикулярна двум пересекающимся прямым BB_{1}
и CC_{1}
этой плоскости. Значит, прямая AD
перпендикулярна прямой BC
, также лежащей в этой плоскости.
Источник: Прасолов В. В., Шарыгин И. Ф. Задачи по стереометрии. — М.: Наука, 1989. — № 6.36б, с. 104
Источник: Прасолов В. В. Задачи по стереометрии. — 2-е изд. — М.: МЦНМО, 2016. — № 8.43б, с. 113