7809. Тетраэдр называется ортоцентрическим, если его высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Докажите, что общие перпендикуляры каждой пары противоположных рёбер (бивысоты) ортоцентрического тетраэдра пересекаются в одной точке.
Указание. Если высоты, проведённые из вершин B
и C
тетраэдра ABCD
пересекаются, то точка их пересечения лежит на общем перпендикуляре скрещивающихся прямых AD\perp BC
.
Решение. Докажем сначала, что если высоты BB_{1}
и CC_{1}
тетраэдра ABCD
пересекаются, то точка их пересечения лежит на общем перпендикуляре скрещивающихся прямых AD
и BC
. Для этого проведём плоскость через прямые BB_{1}
и CC_{1}
, пересекающиеся в точке H
. Пусть эта плоскость пересекает прямую AD
в точке M
. Так как BB_{1}
и CC_{1}
— высоты треугольника BMC
, а высоты треугольника пересекаются в одной точке, то MH\perp BC
. В то же время, прямая AD
перпендикулярна плоскости BMC
, так как она перпендикулярна двум пересекающимся прямым BB_{1}
и CC_{1}
этой плоскости. Поэтому AD\perp MH
. Значит, общий перпендикуляр скрещивающихся прямых BC
и AD
лежит на прямой MH
. Что и требовалось доказать.
Поскольку все высоты ортоцентрического тетраэдра пересекаются в одной точке, то по доказанному, точка их пересечения принадлежит общему перпендикуляру каждой пары скрещивающихся рёбер.
Примечание. 1. Обратное утверждение неверно. Действительно, рассмотрим равногранный тетраэдр, не являющийся правильным. Тогда его описанный параллелепипед прямоугольный, но не куб. Отрезки, соединяющие центры его противоположных граней, т. е. общие перпендикуляры противоположных рёбер тетраэдра, пересекаются в одной точке — центре параллелепипеда. При этом сам тетраэдр не является ортоцентрическим, так как не все рёбра его описанного параллелепипеда равны.
2. См. также статью В.Э.Матизена и В.Н.Дубровского: «Из геометрии тетраэдра», Квант, 1988, N9, с.66.