7810. На сфере радиуса 11
расположены точки A
, A_{1}
, B
, B_{1}
, C
и C_{1}
. Прямые AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
попарно перпендикулярны и пересекаются в точке M
, отстоящей от центра сферы на расстояние \sqrt{59}
. Найдите AA_{1}
, если известно, что BB_{1}=18
, а точка M
делит отрезок CC_{1}
в отношении (8+\sqrt{2}):(8-\sqrt{2})
.
Ответ. 20.
Решение. Пусть CM=(8+\sqrt{2})x
, C_{1}M=(8-\sqrt{2})x
. Рассмотрим сечение сферы плоскостью, проходящей через её центр O
и прямую CC_{1}
. Получим окружность радиуса 11 с центром O
и хорду CC_{1}
. Продолжим отрезок OM
до пересечения с окружностью в точках D
и E
. По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд
CM\cdot C_{1}M=DM\cdot EM,~(8+\sqrt{2})(8-\sqrt{2})x^{2}=(11+\sqrt{59})(11-\sqrt{59}),~62x^{2}=62,
откуда x=1
. Значит,
CM=8+\sqrt{2},~C_{1}M=8-\sqrt{2},~CC_{1}=16.
Рассмотрим сечение сферы плоскостью, проходящей через прямые CC_{1}
и BB_{1}
. Пусть BM=y
. Тогда
B_{1}M=BB_{1}-BM=18-y,~BM\cdot B_{1}M=CM\cdot C_{1}M.
Если BM\lt B_{1}M
, то из уравнения
y(18-y)=(8+\sqrt{2})(8-\sqrt{2})=62
находим, что BM=y=9-\sqrt{19}
. Тогда B_{1}M=9+\sqrt{19}
.
Пусть K
и N
— середины хорд CC_{1}
и BB_{1}
соответственно. Тогда
MK=C_{1}K-C_{1}M=8-(8-\sqrt{2})=\sqrt{2},
MN=B_{1}M-B_{1}N=9+\sqrt{19}-9=\sqrt{19}.
Пусть P
— ортогональная проекция центра O
на плоскость прямых CC_{1}
и BB_{1}
. Тогда MKPN
— прямоугольник. Поэтому
PM=\sqrt{MK^{2}+MN^{2}}=\sqrt{2+19}=\sqrt{21}.
Из прямоугольного треугольника OPM
находим, что
OP=\sqrt{OM^{2}-PM^{2}}=\sqrt{59-21}=\sqrt{38}.
Рассмотрим сечение сферы плоскостью, проходящей через прямые AA_{1}
и BB_{1}
. Пусть Q
— ортогональная проекция центра O
на эту плоскость, F
— середина AA_{1}
. Обозначим AF=z
. Тогда
QF=MN=\sqrt{19},~NQ=OP=\sqrt{38},~QA=QB=\sqrt{NQ^{2}+NB^{2}}=\sqrt{38+81}=\sqrt{119},
\frac{1}{2}AA_{1}=AF=\sqrt{QA^{2}-QF^{2}}=\sqrt{119-19}=10.
Следовательно, AA_{1}=20
.