7814. Основанием пирамиды SABC
является правильный треугольник ABC
, сторона которого равна \sqrt{3}
. Основанием высоты, опущенной из вершины S
, является точка O
, лежащая внутри треугольника ABC
. Расстояние от точки O
до стороны AC
равно 1. Синус угла OBA
относится к синусу угла OBC
как 2:1
. Площадь грани SAB
равна \sqrt{\frac{5}{6}}
. Найдите объём пирамиды.
Ответ. \frac{\sqrt{3}}{4}
.
Указание. Сумма расстояний от произвольной точки, взятой внутри равностороннего треугольника, до сторон треугольника не зависит от расположения этой точки.
Решение. Пусть K
, L
и M
— ортогональные проекции точки O
соответственно на стороны AC
, BC
и AB
равностороннего треугольника ABC
. Тогда
\sin\angle OBA=\frac{OM}{OB},~\sin\angle OBC=\frac{OL}{OB},~\frac{\sin\angle OBA}{\sin\angle OBC}=2.
Поэтому OM=2OL
.
Обозначим OL=x
. Тогда OM=2x
. Площадь треугольника ABC
равна сумме площадей треугольников AOC
, AOB
и BOC
, т. е.
AC^{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{1}{2}AC\cdot OK+\frac{1}{2}AB\cdot OM+\frac{1}{2}BC\cdot OL,
или
\frac{3\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}(1+2x+x),
откуда x=\frac{1}{6}
. Значит, OM=2x=\frac{1}{3}
.
Так как OM
— ортогональная проекция наклонной SM
на плоскость основания пирамиды и OM\perp AB
, то SM\perp AB
. Поэтому SM
— высота треугольника ABS
, а так как площадь треугольника ABS
равна \sqrt{\frac{5}{6}}
, то
\frac{1}{2}AB\cdot SM=\frac{1}{2}\sqrt{3}\cdot SM=\sqrt{\frac{5}{6}},
откуда SM=\frac{\sqrt{10}}{3}
.
Из прямоугольного треугольника MOS
находим, что
SO=\sqrt{SM^{2}-OM^{2}}=\sqrt{\frac{10}{9}-\frac{1}{9}}=1.
Следовательно,
V_{SABC}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot SO=\frac{1}{3}\cdot\frac{3\sqrt{3}}{4}\cdot1=\frac{\sqrt{3}}{4}.
Источник: Вступительный экзамен на геологический факультет МГУ. — 1979 (отделение общей геологии), вариант 1, № 5
Источник: Нестеренко Ю. В., Олехник С. Н., Потапов М. К. Задачи вступительных экзаменов по математике. — М.: Наука, 1986. — с. 88