7824. В правильной треугольной пирамиде SABC
(S
— вершина, SA=2
) точка D
— середина ребра SB
. Расстояние от точки C
до прямой AD
равно \sqrt{\frac{5}{6}}
. Найдите объём пирамиды.
Дана сфера радиуса \frac{1}{\sqrt{2}}
с центром в точке C
. Рассматриваются всевозможные правильные тетраэдры MNPQ
такие, что точки P
и Q
лежат на прямой AD
, а прямая MN
касается сферы в одной из точек отрезка MN
. Найдите наименьшее значение длины ребра рассматриваемых тетраэдров.
Ответ. \frac{\sqrt{11}}{12}
; \frac{2(\sqrt{2}-1)}{3}
.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1984, билет 11, № 5
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 84-11-5, с. 263