7825. В правильной пирамиде SMNPQ
(S
— вершина) точки K
и F
— середины рёбер PQ
и QM
соответственно, точка E
лежит на отрезке SK
, причём SK=4
, SE=\frac{8}{3}
. Расстояние от точки S
до прямой EF
равно \sqrt{7}
. Найдите объём пирамиды.
Дана сфера радиуса 1 с центром в точке S
. Рассматриваются всевозможные правильные тетраэдры ABCD
такие, что точки A
и B
лежат на прямой EF
, а прямая CD
касается сферы в одной из точек отрезка CD
. Найдите наименьшее значение длины ребра рассматриваемых тетраэдров.
Ответ. V=\frac{32}{\sqrt{3}}
или V=28
; a_{\min}=\frac{2(2\sqrt{5}-\sqrt{2})}{3}
.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1984, билет 12, № 5
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 84-12-5, с. 264