7829. В кубе ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, где AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
и DD_{1}
— параллельные рёбра, плоскость P
проходит через точку D
и середины рёбер A_{1}D_{1}
и C_{1}D_{1}
. Найдите расстояние от середины ребра AA_{1}
до плоскости P
, если ребро куба равно 2.
Ответ. 1.
Указание. Докажите, что искомое расстояние равно расстоянию от центра куба до плоскости P
или введите систему координат с началом в точке D_{1}
.
Решение. Первый способ. Пусть M
, N
, K
и L
— середины рёбер A_{1}D_{1}
, C_{1}D_{1}
, AA_{1}
и CC_{1}
соответственно (рис. 1). Прямая KL
параллельна прямой MN
, поэтому прямая KL
параллельна плоскости P
. Кроме того, прямая KL
проходит через центр O
куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Значит, расстояние от середины K
ребра AA_{1}
до плоскости P
равно расстоянию от точки O
до этой плоскости.
Пусть E
— точка пересечения отрезков MN
и B_{1}D_{1}
, F
— основание перпендикуляра, опущенного из точки O
на прямую DE
. Так как прямая MN
перпендикулярна плоскости BB_{1}D_{1}D
, то MN\perp OF
. Значит, OF
— перпендикуляр к плоскости P
. Таким образом, искомое расстояние равно длине отрезка OF
.
Рассмотрим сечение данного куба плоскостью BB_{1}D_{1}D
(рис. 2). Пусть прямая, проходящая через середину O
диагонали BD_{1}
параллельно BD
, пересекает отрезок DE
в точке Q
, а отрезок DD_{1}
— в точке S
. Тогда OS
— средняя линия треугольника BD_{1}D
, а QS
— средняя линия треугольника EDD_{1}
. Поэтому
OQ=OS-QS=\frac{1}{2}BD-\frac{1}{2}ED_{1}=\frac{1}{2}(BD-ED_{1})=\frac{1}{2}\left(2\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{3\sqrt{2}}{4}.
Обозначим \angle FOQ=\alpha
. Тогда
\angle EDD_{1}=\angle FOQ=\alpha,~\cos\alpha=\frac{DD_{1}}{DE}=\frac{DD_{1}}{\sqrt{DD_{1}^{2}+ED_{1}^{2}}}=\frac{2}{\sqrt{4+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}.
Следовательно,
OF=OQ\cos\alpha=\frac{3\sqrt{2}}{4}\cdot\frac{2\sqrt{2}}{3}=1.
Второй способ. Выберем прямоугольную систему координат D_{1}xyz
, взяв за начало точку D_{1}
и направив оси координат по лучам D_{1}A_{1}
, D_{1}C_{1}
и D_{1}D
соответственно. Уравнение плоскости P
будет иметь вид
\frac{x}{1}+\frac{y}{1}+\frac{z}{2}=1
(уравнение плоскости в отрезках), или 2x+2y+z-2=0
. Расстояние от точки K(2;0;1)
до этой плоскости равно
\frac{2\cdot2+2\cdot0+1-2}{\sqrt{4+4+1}}=\frac{3}{3}=1.
Источник: Вступительный экзамен на химический факультет МГУ. — 1976, вариант 3, № 5