7831. В основании четырёхугольной пирамиды лежит ромб ABCD
, в котором \angle BAD=60^{\circ}
. Известно, что SD=SB
, SA=SC=AB
. На ребре DC
взята точка E
так, что площадь треугольника BSE
наименьшая среди площадей всех сечений пирамиды, содержащих отрезок BS
и пересекающих отрезок DC
. Найдите отношение DE:EC
.
Ответ. 2:5
.
Указание. Обозначьте SD=SB=AB=a
, EC=x
. Тогда квадрат площади треугольника BSE
можно представить в виде квадратного трёхчлена от x
.
Решение. Боковые рёбра SD
и SB
пирамиды равны, поэтому основание O
высоты пирамиды равноудалено от точек D
и B
(рис. 1). Значит, точка O
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку DB
, т. е. на прямой AC
. Аналогично, точка O
лежит на прямой BD
. Поэтому высота пирамиды проходит через центр ромба.
Обозначим SA=SC=AB=a
, EC=x
. Тогда
BE=\sqrt{CB^{2}+CE^{2}-2CB\cdot CE\cos60^{\circ}}=\sqrt{a^{2}+x^{2}-ax}.
Пусть P
— основание перпендикуляра, опущенного из точки O
на BE
. По теореме о трёх перпендикулярах SP\perp BE
, т. е. SP
— высота треугольника BSE
. Опустим перпендикуляр DK
из точки D
на прямую BE
. Тогда OP
— средняя линия треугольника DBK
. Пусть M
— середина CD
. Тогда, записав двумя способами площадь треугольника DBE
(рис. 2), получим, что
OP=\frac{1}{2}DK=\frac{1}{2}\cdot\frac{DE\cdot BM}{BE}=\frac{1}{2}\cdot\frac{(a-x)\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{a^{2}+x^{2}-ax}}=
=\frac{a(a-x)\sqrt{3}}{4\sqrt{a^{2}+x^{2}-ax}}.
По теореме Пифагора из прямоугольных треугольников SOC
и SOP
находим, что
SO^{2}=SC^{2}-OC^{2}=a^{2}-\frac{3a^{2}}{4}=\frac{a^{2}}{4},
SP^{2}=SO^{2}+OP^{2}=\frac{a^{2}}{4}+\frac{3a^{2}(a-x)^{2}}{16(a^{2}+x^{2}-ax)}=
=\frac{a^{2}(4a^{2}+4x^{2}-4ax+3a^{2}+3x^{2}-6ax)}{16(a^{2}+x^{2}-ax)}=\frac{a^{2}(7x^{2}-10ax+7a^{2})}{16(a^{2}+x^{2}-ax)},
S^{2}_{\triangle BSE}=\frac{1}{4}BE^{2}\cdot SP^{2}=
=\frac{1}{4}\frac{(a^{2}+x^{2}-ax)\cdot a^{2}(7x^{2}-10ax+7a^{2})}{(16a^{2}+x^{2}-ax)}=\frac{a^{2}(7x^{2}-10ax+7a^{2})}{64}.
Поскольку площадь есть положительная величина, она достигает своего наименьшего значения тогда и только тогда, когда минимален её квадрат. Квадрат площади есть квадратный трёхчлен от x
. Его наименьшее значение достигается при x=\frac{5a}{7}
. В этом случае
EC=\frac{5a}{7},~DE=a-x=\frac{2a}{7}.
Следовательно, \frac{DE}{EC}=\frac{2}{5}
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет МГУ. — 1997 (тестирование), вариант 2, № 8