7836. Даны четыре точки A
, B
, C
, D
, не лежащие в одной плоскости. Сфера касается прямых AB
и AD
в точке A
, и прямых BC
и CD
— в точке C
. Найдите площадь сферы, если известно, что AB=1
, BD=2
, \angle ABC=\angle BAD=90^{\circ}
.
Ответ. 6\pi
.
Указание. Проведите плоскость через точки A
, C
и центр сферы.
Решение. Пусть O
— центр сферы, r
— её радиус. Рассмотрим тетраэдр ABCD
. Поскольку сфера касается его рёбер AB
и AD
в точке A
, прямая OA
перпендикулярна двум пересекающимся прямым AB
и AD
плоскости грани ABD
, поэтому прямая OA
перпендикулярна этой плоскости. Значит, сфера касается плоскости грани ABD
в точке A
. Аналогично, сфера касается плоскости грани BCD
в точке C
. Следовательно, сфера вписана в двугранный угол, образованный плоскостями граней ABD
и ABC
.
Пусть плоскость, проходящая через пересекающиеся прямые OA
и OC
, пересекает ребро BD
указанного двугранного угла в точке K
. Так как OA
— перпендикуляр к плоскости грани ABD
, а OC
— перпендикуляр к плоскости грани BCD
, то прямая BD
перпендикулярна двум пересекающимся прямым OA
и OC
плоскости AKC
. Значит, BD\perp AK
и BD\perp CK
, т. е. AK
и CK
— высоты треугольников ABD
и CBD
.
В прямоугольном треугольнике ABD
известно, что BD=2
и AB=1
, причём BD
— гипотенуза, поэтому
\angle ADB=30^{\circ},~AD=\sqrt{3},~AK=\frac{1}{2}AD=\frac{\sqrt{3}}{2}.
По теореме о равенстве отрезков касательных, проведённых к сфере из одной точки, BC=BA=1
, KC=KA=\frac{\sqrt{3}}{2}
. Таким образом, задача сводится к нахождению радиуса r
окружности, касающейся боковых сторон KA
и KC
равнобедренного треугольника AKB
в точках A
и B
соответственно, причём
KA=KC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.
Пусть KM
— высота треугольника AKC
. Тогда
AM=CM=\sqrt{AK^{2}-AM^{2}}=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}}=\frac{1}{2}.
Обозначим \angle OKC=\alpha
. Из прямоугольных треугольников AKM
и AKO
находим, что
r=AO=AK\tg\alpha=AK\cdot\frac{AM}{KM}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}.
Следовательно, площадь поверхности сферы равна 4\pi r^{2}=6\pi
.