7837. Сфера радиуса \sqrt{5}
с центром в точке O
касается всех сторон треугольника ABC
. Точка касания N
делит сторону AB
пополам. Точка касания M
делит сторону AC
так, что AM=\frac{1}{2}MC
. Найдите объём пирамиды OABC
, если известно, что AN=NB=1
.
Ответ. 2.
Указание. Радиус окружности, вписанной в треугольник, равен площади треугольника, делённой на его полупериметр.
Решение. Пусть сфера касается стороны BC
треугольника ABC
в точке K
. Тогда
BK=BN=1,~AM=AN=1,~CM=2AM=2,~CK=CM=2.
Сечение сферы плоскостью треугольника ABC
есть окружность, вписанная в треугольник ABC
, причём центр O_{1}
этой окружности — ортогональная проекция центра O
сферы на плоскость треугольника ABC
. Значит, OO_{1}
— высота пирамиды OABC
.
Пусть r
— радиус окружности, вписанной в треугольник ABC
, p
— полупериметр треугольника, s
— площадь. Поскольку треугольник ABC
равнобедренный, отрезок CN
— его высота. Тогда
CN=\sqrt{AC^{2}-AN^{2}}=\sqrt{9-1}=2\sqrt{2},
s=\frac{1}{2}AB\cdot CN=2\sqrt{2},~r=\frac{s}{p}=\frac{2\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Из прямоугольного треугольника OO_{1}N
находим, что
OO_{1}=\sqrt{ON^{2}-ON^{2}}=\sqrt{5-\frac{1}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}.
Следовательно,
V_{OABC}=\frac{1}{3}s\cdot OO_{1}=\frac{1}{3}\cdot2\sqrt{2}\cdot\frac{3}{\sqrt{2}}=2.