7839. Сфера радиуса \frac{3}{2}
имеет центр в точке N
. Из точки K
, находящейся на расстоянии \frac{3\sqrt{5}}{2}
от центра сферы, проведены две прямые KL
и KM
, касающиеся сферы в точках L
и M
соответственно. Найдите объём пирамиды KLMN
, если известно, что ML=2
.
Ответ. 1.
Решение. Из прямоугольного треугольника KLN
находим, что
KL=\sqrt{KN^{2}-LN^{2}}=\sqrt{\frac{45}{4}-\frac{9}{4}}=3.
поэтому KM=KL=3
. В равнобедренных треугольниках LNM
и LKM
медианы NP
и KP
являются высотами, поэтому
NP^{2}=\sqrt{NL^{2}-LP^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}-1}=\frac{\sqrt{5}}{2},
KP^{2}=\sqrt{KL^{2}-LP^{2}}=\sqrt{9-1}=\frac{\sqrt{2}}{2},
Значит,
S_{\triangle LNM}=\frac{1}{2}LM\cdot NP=\frac{1}{2}\cdot2\cdot\frac{\sqrt{5}}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2}.
Пусть KH
— высота пирамиды KLMN
. Поскольку KL=KM
, точка H
равноудалена от точек L
и M
. Значит, точка H
лежит на прямой NP
, причём KH
— высота треугольника KNP
. Обозначим PH=x
. По теореме Пифагора
KN^{2}-NH^{2}=KP^{2}-PH^{2},~\mbox{или}~\frac{45}{4}-\left(\frac{\sqrt{5}}{2}+x\right)^{2}=8-x^{2},
откуда x=\frac{2}{\sqrt{5}}
. Поэтому
KH=\sqrt{KP^{2}-PH^{2}}=\sqrt{8-\frac{4}{5}}=\frac{6}{\sqrt{5}}.
Следовательно,
V_{KLMN}=\frac{1}{3}S_{\triangle LNM}\cdot KH=\frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{5}}{2}\cdot\frac{6}{\sqrt{5}}=1.