7843. Треугольная пирамида ABCD
пересекается с плоскостью P
по четырёхугольнику EFGH
так, что вершины E
и F
лежат на рёбрах AB
и AC
. Известно, что плоскость P
параллельна рёбрам AD
и BC
, отношение отрезка EA
к отрезку EB
равно 2, рёбра AD
и BC
равны. Найдите отношение EF:EH
.
Ответ. 2.
Решение. Через прямую AD
, параллельную секущей плоскости P
, проведена плоскость ABD
, пересекающая плоскость P
по прямой EH
. Значит, EH\parallel AD
. Аналогично, что FG\parallel AD
, EF\parallel BC
и GH\parallel BC
. Поэтому четырёхугольник EFGH
— параллелограмм. Из подобия треугольников BEH
и BAD
находим, что
EH=AD\cdot\frac{BE}{AB}=\frac{1}{3}AD=\frac{1}{3}BC,
а из подобия треугольников EAF
и BAC
—
EF=BC\cdot\frac{AE}{AB}=\frac{2}{3}BC.
Следовательно,
\frac{EF}{EH}=\frac{\frac{2}{3}BC}{\frac{1}{3}BC}=2.
Источник: Вступительный экзамен на географический факультет МГУ. — 1988, вариант 4, № 4
Источник: Нестеренко Ю. В., Олехник С. Н., Потапов М. К. Задачи вступительных экзаменов по математике. — М.: Факториал, 1995. — с. 108